§ 5. Выполнимость аксиом аксиоматики Погорелова а.В. В теории поражденной аксиоматикой Колмогорова а.Н.

В этом параграфе наша цель состоит в том, что в рамках теории учебника Погорелова А.В. мы должны доказать выполнимость теории учебника Колмогорова А.Н.

Теорема . I' .1 Каждая прямая есть множество точек.

Данная теорема обосновывается через данные понятия и отношение принадлежности, что присутствует в данной теории.

Теорема . I.'2 Для любых двух точек существует одна и только одна содержащая их прямая. Данная теорема не требует доказательства так как присутствует в нашей системе аксиом.

Теорема I'.3 существует хотя бы одна прямая; каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка. Эту теорему можно обосновать через отношение существования.

Теорема . II' .1 любым точкам А и В поставлено в соответствии неотрицательное действительное число |АВ|, называемое расстоянием от точки А до точки В. Расстояние |АВ| равно нулю тогда и только тогда, когда точки А и В совпадают. В аксиоматики Погорелова так же можно встретить определение длины и расстояния: каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Так как по теореме точки совпадают, значит АВ является точкой не имеющей длины, а следовательно это расстояние равно нулю.

Теорема II'.2 Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А. |АВ| =|ВА|. Расстояние не меняется от порядка название точек.

В учебнике Погорелова длина отрезка АВ называется расстоянием. Воспользуемся отношением «лежать между»: Рассмотрим прямую АВ. Точка С лежит между точками А и В. А это значит по аксиоме III.1 : АВ=АС+СВ. если предполагаемая длина АС=х, СВ=у, то представим теперь расстояние ВС=х+у=АС+СВ=АВ

Теорема . II'.3 Для любых точек А,В и С расстояние от А до С не больше суммы расстояний от А до В и от В до С.

??????????

Теорема III'.1. Три точки принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда одна из них лежит между двумя другими. Данная теорема встречается в аксиоматике Погорелова во 2 группе аксиом только в иной формулировке.

Теорема III'.2. Любая точка прямой разбивает множество отличных от нуля точек прямой на два множества непустых подмножества так, что точка лежит между любыми двумя другими точками, принадлежащим разным подмножествам.

?????????

Теорема III'.3. Для любого неотрицательного действительного числа х на заданном луче существует одна и только одна точка, расстояние от которой до начала луча равно х.