I группа аксиом – аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости.

Аксиома. I Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащей ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. a=AC, b=BC, т.к. B,C∊b, A,C∊a.

Следствие аксиомы . Две прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

II группа – аксиомы расположения точек на прямой.

Аксиома.II.1 Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. μ(ΑCB), А∊a,B∊a,C∊a.

А С В

Аксиома.II.2 Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. ΑB⋔а, СD⋂а, АВ∊α, С∊α, D∊β

Следствие аксиомы . Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекается одну из его сторон, то она пересекает, и притом только одну, из двух других сторон.

Определение: треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Аксиома.II.3 Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данный полупрямой.

III группа – аксиомы измерения отрезков и углов.

Определение: Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя дальними ее точками.

Аксиома III.1 Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

С∊ΑB, μ(ΑCB)=>|ΑB|=|ΑC|+|BC| А С В

Аксиома позволяет ввести координату на прямой, т.е. сопоставить каждой точке прямой вещественное число так, что еслии- координаты точек А и В, то длина отрезка.

Определение: Угол называется фигура , которая состоит из точки – вершины угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, - сторон угла.

Аксиома.III. 2 каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящем между его сторонами.

Если С проходит между сторонами угла (a^b), то (a^b) равен сумме углов (ас) и (ab).

IV – аксиомы откладывания отрезков и углов.

Определение: полупрямая или луч называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной точки, где А – начальная точка полупрямой а, C,Y,Z∊a, X,Y,Z – лежать по одну сторону от точки А, а⋂b=A.

Аксиома.IV.1 На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длинны и только один.

Аксиома.IV.2 От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

V – аксиома параллельных прямых.

Определение: Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

Аксиома.V Через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Α∊a, a – единственная прямая ,a||b.

Следствия аксиомы V.

1. Свойство параллельности прямых транзитивно: и, то.

2. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Вывод: Анализ структуры школьного учебника под редакцией Погорелова показал, что структура состоит из четырех неопределяемых понятий, четырех отношений и списком аксиом, который в свою очередь разделен на 5 групп. Следовательно, так как составлена конечная цепочка аксиом, поэтому на данном списке аксиом строиться математическая теория, задающая структуру.