1.8 Виды дисперсии и правило сложения

ДИСПЕРСИИ

Изучая дисперсию, интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности, и, опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияния отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку – фактору. При этом можно определить 3 показателя колеблемости признака в совокупности:

- общую дисперсию;

- межгрупповую дисперсию;

- среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия _о²характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности

, (33)

где - общая средняя для всей изученной совокупности.

Межгрупповая дисперсия ²отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака – фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) среднихоколо общей средней.

, (34)

где - средняя по отдельным группам;

- средняя общая;

- численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака – фактора), положенного в основу группировки.

. (35)

Правило сложения дисперсий

. (36)

Общая дисперсия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

Это правило (закон) сложения вариаций (дисперсий) имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов соотношением межгрупповой ² и общей дисперсии_о² (коэффициент детерминации)

(37)

Дисперсия альтернативного (качественного) признака

Альтернативными являются признаки, которыми обладают одни единицы изучаемой совокупности и не обладают другие. При статическом выражении колеблемости альтернативных признаков наличие изучения признака обозначим - 1, а его отсутствие – 0.

Долю вариантов, обладающих изучением признака, обозначим p, а доля вариантов, не обладающих признаком, q. Следовательно, p + q = 1.

Найдем их среднее значение и σ².

, (38)

т.е. доля единиц, обладающих изученным признакам равна p.

Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, и доли единиц, не обладающим им, (не более 0,25).

Контрольные вопросы

1. В чем смысл правила сложения дисперсии?

2. Какой показатель начисляется на основании правила сложения дисперсии и что он характеризует?

Задачи

1. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих (табл. 32):

Таблица 32

Табельный номер рабочего	Произведено продукции, шт.
	в дневную смену	в ночную смену
1	2	3
1	5	5
2	8	6

Окончание табл. 32

3	7	4
4	4	4
5	6	6

Исчислите: 1) частные дисперсии; 2) среднюю из частных дисперсий;

3) межгрупповую дисперсию; 4) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсии и обычным способом).

2. Бригада рабочих лесопильного цеха, состоящая из 10 человек, к концу месяца имела следующие показатели по выполнению норм выработки (табл. 33):

Таблица 33

Группы рабочих по степени выполнения плана, %	Процент выполнения плана
До 100	90	95	85	92
Свыше 100	100	102	104	103	105	104

Исчислите: 1) групповые дисперсии; 2) межгрупповую дисперсию; 3) общую дисперсию (обычным способом и по правилу сложения дисперсии).

3. Имеются показатели распределения основных фондов по заводам отрасли (табл. 34):

Таблица 34

Группы заводов по стоимости основных фондов, млн. р.	Число заводов	Основные фонды в среднем на завод, млн. р.	Групповые дисперсии
1	2	3	4
1,2 – 2,7	9	1,8	0,17
2,7 – 4,2	11	3,2	0,9
4,2 – 5,7	7	4,8	0,25
5,7 – 7,2	3	6,9	0,14

Определите общую дисперсию основных фондов по совокупности завода, применяя правило сложения дисперсии.

4. Имеются следующие данные о распределении рабочих по процентам допускаемого брака в процессе производства (табл. 35):

Таблица 35

Процент брака	Число рабочих	Средний процент брака продукции на одного рабочего	Среднее квадратическое отклонение
До 1	7	0,8	0,67
1 –3	20	2,3	0,65
3 – 5	15	3,7	0,51
5 –7	5	5,9	0,48
Свыше 7	3	7,8	0,82

Исчислите общую дисперсию допускаемого рабочими брака продукции, применяя правило сложения дисперсии.

5. Глубина скважин в районе бурения характеризуются следующими данными (табл.):

Таблица 36

Группы скважин по глубине, м	Число скважин в процентах к итогу
200 – 400	4
400 – 600	8
600 – 800	32
800 – 1000	30
1000 – 1200	18
1200 - 1400	8

Исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение скважин, применяя способ моментов.

6. Имеются следующие данные о часовой производительности труда рабочих цеха (табл. 37):

Таблица 37

Группы рабочих по количеству продукции, выработанной за один час одним рабочим, шт.	Число рабочих	Средняя выработка на одного рабочего, шт.	Групповые дисперсии
9 –10	10	9,5	0,25
10 –12	11	11,6	0,23
12 –14	16	13,4	0,23
14 – 17	13	16,4	0,53
Итого	50	13,0	-

Исчислите общую дисперсию часовой производительности труда рабочих, применяя правило сложения дисперсии.

9. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ

Под ВН понимается метод статистического исследования, при котором обобщающиеся показатели изучаемой совокупности устанавливаются по некоторой ее части на основе положений случайного отбора. При ВН исследуется небольшая часть всей изучаемой совокупности (обычно 5 – 10 %, реже до 15 –25 %).

Вся изучаемая совокупность, из которой производится отбор части единиц, называется (N) генеральной совокупностью. Число единиц, отобранных из генеральной совокупности, представляет собой (n) выборочную совокупность.

Значение выборочного метода состоит в том, что при минимальной численности обследованных единиц произведение исследования осуществляется в более короткие сроки и с минимальными затратами труда и средств. Это повышает оперативность статистической информации, уменьшает ошибки регистрации.

Для того чтобы можно было по выборке делать вывод о свойствах генеральной совокупности, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность заключается в том, что выборка должна наиболее полно и адекватно представлять свойства генеральной совокупности. Репрезентативность выборки может быть обеспечена только при объективности отбора данных.

В статистике применяются следующие способы отбора:

1. случайный;

2. механический;

3) типический;

4. серийный

5. комбинированный.

1. Случайный отбор. Каждая единица наблюдения попадает в выборку случайно, в результате непреднамеренного отбора отдельных единиц из генеральной совокупности. При этом количество отобранных в выборке совокупность единиц обычно определяется исходя из принятой доли выборки.

Доля выборки есть отношение числа единиц выборки совокупности n к численности единиц генеральной совокупности N, т.е.

. (39)

2. Механический отбор (механическая выборка). Большое распространение получил механический способ отбора, при котором все единицы совокупности располагаются в сообщенном порядке, а затем чисто механически через определенный интервал отбираются единицы, которые и подвергаются наблюдению. При этом размер интервала в генеральной совокупности равен обратной величине доли выборки.

. (40)

3. Типический отбор (типическая выборка). Вся обследуемая совокупность подразделяется на определенные типы, группы, затем из каждой типической группы собственно-случайной или механической выборкой производится индивидуальный отбор единиц в выборную совокупность.

Типическая выборка обычно применяется при изучении сложных статистических совокупностей. Например, при исследовании семейных бюджетов.

4. Серийный отбор (серийная выборка) или гнездовая выборка – из генеральной совокупности отбираются не отдельные единицы, а целые серии (гнезда). Внутри же каждой из попавшей в выборку серии обследуются все без исключения единицы, т.е. применяется сплошное наблюдение.

5. Комбинированный отбор. Рассмотренные способы отбора на практике обычно применяется не в "чистом" виде, а комбинируются в различных сочетаниях и с различной последовательностью.

При выборочном наблюдении используются следующие методы отбора в выборку:

- повторный (применяется в торговле при изучении покупательского спроса населения), повторная регистрация неудовлетворенного спроса;

- бесповторный (при контроле качества электрических ламп).

Ошибка выборки

Выборочная средняя и выборочная доля являются переменными величинами. Они могут быть различными, колеблясь около генеральной доли или генеральной средней. Мерой колеблемости является дисперсия . Возможные расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупностями измеряются средней ошибкой выборки μ.

=или(41)

Для определения точного отклонения между показателями выборки и генеральной совокупности рассчитывают показатели предельной ошибки выборки.

Предельная ошибка выборки равна скорректированному на величину tзначению средней ошибки выборки.

(42)

Зная предельную ошибку выборки, можно рассчитать показатели генеральной совокупности.

; (43)

; (44)

. (45)

Определение необходимой численности выборки

Определение необходимой численности выборки основывается на формуле предыдущей ошибки выборки.

,. (46)

Объем необходимой выборки можно получить путем преобразования формулы

(47)