Структура затрат на производство лесобумажной продукции (%)

Рис. 3 Данные по лесобумажной продукции за 2005 год

Р

Структура затрат на производство лесобумажной продукции (%)

ис. 4 Данные по лесобумажной продукции за 2005 год

Задачи

1. В отчетном периоде на производственные нужды израсходованы следующие виды топлива: мазут топочный – 800 т, уголь донецкий – 460 т, газ природный – 940 тыс. м³ .

На основе приведенных данных (табл.13) определите общий размер потребленного в отчетном периоде топлива в условных единицах измерения.

Примечание. Средние калорийные эквиваленты для перевода отдельных видов топлива в условное топливо:

Таблица 13

Вид топлива	Калорийные эквиваленты
Уголь донецкий, т	0,9
Мазут топочный, т	1,37
Газ природный, тыс. м3	1,2

Годовым планом мебельной фабрики предусматривался рост выпуска товарной продукции на 5,5 %. Фактически прирост товарной продукции за этот год составил 8,8 %. Определите относительную величину выполнения мебельной фабрикой годового плана по росту выпуска товарной продукции.

2. В годовом плане предусматривалось снижение по мебельной фабрике затрат на 1 р. товарной продукции на 4,0 %; фактически за этот год затраты на 1 р. товарной продукции были снижены на 5,4 %. Определите относительную величину выполнения мебельной фабрикой плана по снижению затрат на 1 р. товарной продукции в данном году.

3. По одному из городов области получены следующие данные за 2005 г.(табл. 14):

Таблица 14

Число родившихся	Число умерших	Число браков	Число разводов	Среднегодовая численность населения
1342	621	720	193	76620

Определите относительную величину интенсивности, характеризующую рождаемость детей в районе.

4. По данным задачи 4 определите относительную величину интенсивности, характеризующую смертность населения в районе.

5. По данным задачи 4 определите относительную величину интенсивности, характеризующую заключение браков населением района.

6. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

В процессе статистического наблюдения изучаются количественные значения варьирующей изучаемой совокупности. На величину варьирующего признака оказывают влияние общие причины и индивидуальные особенности единиц совокупности.

Обобщенной количественной характеристикой множества индивидуальных значений совокупности является средняя величина, которая характеризует типичную величину признака у единиц совокупности, образующуюся в данных условиях места и времени под влиянием всех совокупностей факторов. Средняя величина есть результат абстрагирования от имеющихся индивидуальных различий единиц, совокупности. Элемент случайности погашается в средней величине. Средняя величина, построенная на большом количестве случайных величин, отражает то общее, что присуще данному явлению в целом. Очень важно, чтобы средние характеристики базировались на массовом обобщении факторов, т.к. только при этом условии они покажут общую тенденцию процесса в целом.

Средняя величина характеризует совокупность по осредненному признаку, но относится к единице совокупности.

Основное условие правильного применения средней величины – однородность совокупности по осредняемому признаку. Только в однородных совокупностях в средних величинах проявляются закономерности изучаемых социально-экономических явлений. Средняя, рассчитанная для всей совокупности в целом, называется общей средней.

Для отграничения однородных совокупностей проводится группировка. В пределах каждой группы может быть рассчитана своя средняя, которая называется групповой средней или частной.

Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней. Средние, применяемые в статистике, относятся к классу степенных средних. Общая формула степенной средней имеет следующий вид:

, (1)

где - степенная средняя;

Х – индивидуальные значения признака или варианты;

n – число вариант;

m – показатель степени средней.

Изменение значения показателей степени средней определяет вид средней величины. Средняя арифметическая – наиболее распространенный вид средней. Средняя арифметическая получается при m = 1, формула (1) приобретает вид:

. (2)

Применяется средняя арифметическая в тех случаях, когда объем варьирующего признака всей совокупности образуется как сумма его значений у отдельных единиц совокупности.

Предположим, нужно определить средний стаж 10-ти рабочих предприятия, имеющих стаж работы 8, 7, 5, 4, 5, 9, 8, 2, 5, 2.

Тогда средний стаж работы этих 10 рабочих равен

.

Как видно из приведенного примера, у некоторых рабочих стаж одинаковый. Если в ряду распределения значение признака повторяется несколько раз, средняя рассматривается как средняя арифметическая, взвешенная по формуле , (3)

где f_i – частота, т.е. повторяемость индивидуальных значений признаков.

Для определения средней арифметической взвешенной необходимо объединить данные по величине признака и подсчитать число случаев повторения каждого из них. Мы получим следующий дискретный вариационный ряд (табл.15).

Таблица 15

Ряд распределения рабочих по стажу работы

Продолжительность стажа работы (варианты),	Число рабочих предприятия (частота),	Отработано человеко-лет,	Доля рабочих и общей численности рабочих, %
2	2	4	20	40
4	1	4	10	40
5	3	15	30	150
7	1	7	10	70
8	2	16	20	160
9	1	9	10	90
Итого	10	55	100	550

Исходя из приведенного вариационного ряда, средняя арифметическая взвешенная равна

Частоты вариантов могут быть выражены не только абсолютными, но и относительными величинами – частностями (). Средняя арифметическая взвешенная в таком случае определяется по формуле :

Рассмотрим расчет средней арифметической величины на примере интервального вариационного ряда (табл. 16).

Таблица 16

Расчет средней заработной платы из вариационного ряда

Группы рабочих по размеру месячной зарплаты, тыс. р.	Среднее значение интервала (Х)	Число рабочих, f
100-200	150	25	3750
200-300	250	35	8750
300-400	350	45	15750
400-500	450	30	13500
Итого		135	41750

В интервальном вариационном ряду значение вариант дано в виде интервала. Поэтому для вычисления средней величины в каждом варианте определяется середина интервала, а затем взвешивание производится в обычном порядке (). В закрытом интервале среднее значение рассчитывается как полусумма верхней и нижней его границ (). Если начальный и конечный интервал открытые (например, начальный интервал до 200 тыс. руб., а конечный – более 1400 тыс. руб.), то предполагается, что расстояние между границами данного интервала такое же, как и в среднем.

После того, как определены средние значения интервалов, расчет ведется так же, как и в дискретном вариационном ряду

Следует отметить, что средняя, рассчитанная для интервального ряда, не является точной величиной, т.к. здесь берутся не индивидуальные значения вариант, а условные средние для каждой группы. Степень расхождения зависит от следующих причин:

1. Числа вариант. Чем их больше, тем вероятнее то, что середина интервала меньше отличается от групповой средней. При небольшом количестве единиц в группе групповые средние могут находиться ближе к верхней или нижней границе интервала, а не в середине интервала.

2. Величины интервала. Ошибка меньше при небольшой величине интервала, так как групповая средняя будет ближе к середине интервала.

3. Характера распределения. При неравномерном распределении ошибка меньше.

4. При равных интервалах групповая средняя ближе примыкает к середине. Открытые интервалы увеличивают ошибку за счет условного установления неизвестных границ.

Средняя арифметическая обладает следующими свойствами :

1. если от каждой варианты отнять произвольное число А, то новая средняя уменьшится на это же число.

.

Отсюда

. (4)

Расчет производится в табл. 17

Таблица 17

Расчет средней из уменьшенных вариант

Среднее значение интервала, Х	Х – А (А = 150)	Число рабочих, f	(Х – А), f
150	0	25	0
250	100	35	3500
350	200	45	9000
450	300	30	9000
итого	X	135	21500

2. Если к каждой варианте прибавить какое–либо произвольное число А, то новая средняя увеличится на это число.

,

отсюда

. (5)

3. Если каждую варианту разделить на произвольное число А, то новая средняя уменьшится во столько же раз.

,

отсюда

. (6)

В приведенном примере разделим все варианты на 50 (табл. 18).

Таблица 18

Среднее значение интервала		Число рабочих, f
150	3	25	75
250	5	35	175
350	7	45	315
450	9	30	270
Итого	X	135	835

4. Если каждую варианту умножить на произвольное число А, то новая средняя увеличится во столько же раз.

,

отсюда

. (7)

5. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака в А раз величина средней арифметической не изменится.

Проверим это свойство на примере. Разделим частоты на 135 и умножим на 100, т.е. выразим их в процентах (табл. 19).

Таблица 19

Среднее значение интервала, Х	Число рабочих, f
150	25	18,52	2778
250	35	25,93	6483
350	45	33,33	11666
450	30	22,22	9999
Итого	135	100	30926

Таким образом, при вычислении средней вместо абсолютных величин частот можно брать относительные – в долях или процентах.

6. Произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на частоты:

. (8)

7. Сумма отклонений вариант от средней арифметической равна 0.

(9)

-для простой средней арифметической;

(10)

- для взвешенной средней арифметической.

Рассмотрим это свойство на примере (табл. 20).

Таблица 20

Среднее значение интервала, Х	Число рабочих, f	Х–Х (Х=309,3)	(Х–Х)f
150	25	-159,26	-3981,5
250	35	-59,26	-2074,6
350	45	40,74	1833,3
450	30	140,74	4222,2
итого	135

Средняя, рассчитанная из обратных значений признаков, называется гармонической (в формуле m = - 1).

Рассчитывается средняя гармоническая следующим образом:

1. средняя гармоническая простая:

, (11)

2) взвешенная средняя гармоническая:

. (12)

Рассмотрим применение средней гармонической на примере: 20 рабочих цеха заняты обработкой древесины. Их распределение по затратам времени на обработку 1 м³ приведено в таблице 21.

Таблица 21

Затраты времени на обработку 1 м3/ч, х	Число рабочих, f
0,1	2	10	20
0,2	10	5	50
0,3	7	3,3	23,1
0,4	1	2,5	2,5
Итого	20	-	95,6

Производительность труда является показателем прямым, а обратным этому показателю является показатель затрат времени на единицу продукции (трудоемкость). Величина характеризует объем древесины, произведенный каждой группой рабочих за один час. Количество кубометров древесины, обработанной каждым рабочим за час (), умноженное на число рабочих в каждой группе (f), показывает, сколько кубометров древесины за час обработала группа рабочих. Отсюда средние затраты на 1 деталь составят:

Средняя геометрическая – это величина, используемая как средняя из отношений или в рядах распределения, представленных в виде геометрической прогрессии (когда m = 0).

В статистических расчетах средняя геометрическая используется, в частности, для определения средних темпов роста.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение средней величины.

2. Что такое осредняемый признак?

3. В чем заключается связь метода группировок и метода средних?

4. Какие формы средней вы знаете?

5. В каких случаях может применяться простая (невзвешенная) средняя?

6. Что такое средняя гармоническая?

7. На чем основывается выбор вида средней?

Задачи

1. На мебельной фабрике рабочий отработал за каждый час деталей:

за 1-й – 10 деталей, 2-й – 11, 3-й – 9, 4-й – 10, 5-й – 11,6-й – 13, 7-й – 8, 8-й – 8. Определите среднюю выработку рабочего за один час.

2. Имеются данные о времени простоя станков на фабрике (табл. 22):

Таблица 22

Номер цеха	Время простоя станка за смену, мин.	Число станков
1	70	7
2	40	9
3	30	12
4	25	6
5	90	6

Определите среднее время простоя одного станка.

3. В результате группировки данных по капитальным затратам по леспромхозам получено (табл. 23):

Таблица 23

Группы леспромхозов по размеру капитальных затрат, тыс. р.	Число леспромхозов
8 –10	6
10 –12	8
12 – 14	15
14 – 16	15
16 –18	10
18 –20	6
Итого	60

Определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство.

4. По данным задачи 3 определите средний размер капитальных затрат на одно хозяйство. Расчет выполните по способу моментов.

5. Инструментальный выпустил измерительный инструмент трех наименований, допустив некоторый брак продукции (табл. 24):

Таблица 24

Наименование инструмента	Брак, %	Произведено изделий, шт.
АС-10	3,0	3000
АС-12	1,0	2000
АС-13	5,0	5000

Определите средний процент брака.

6. По данным о производстве продукции и среднегодовой выработке на одного рабочего по четырем бригадам определите среднюю производительность труда одного рабочего в среднем по фабрике.

Таблица 24

Номер бригады	Произведено валовой продукции, тыс. р.	Выработка на одного рабочего, тыс. р.
1	57	1,9
2	46	2,0
3	65	2,5
4	70	2,8

2. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

Для характеристики структуры совокупности применяются особые показатели, которые называются структурные средние. К таким показателям относятся М_о и М_е.

Мода – величина признака, которая наиболее часто встречается в данной совокупности. Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение.

В дискретном ряду М_о - это варианта с наибольшей частотой.

В интервальном вариантном ряду ее считают центральным вариантом так называемого модального интервала, т.е. того интервала, который имеет наибольшую частоту. В пределах интервала надо найти то значение признака, которым является мода.

, (13)

где Х_мо – нижняя граница модального интервала,

I_мо - наличие модального интервала,

f_мо - частота, соответствующая модальному интервалу,

f_мо - ₁ - частота, предшествующая модальному интервалу,

f _{мо + 1} - частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – это величина варьирующего признака, которая находится в середине вариационного ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания значения признака.

Эта величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другие большие.

. (14)

В интервальном вариационном ряду порядок ее нахождения следующий:

1. располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру;

2. определяем для данного ранжирного ряда накопленные частоты;

3. по накопленным частотам находим медианный интервал.

_, (15)

где Х_ме - нижняя граница медианы, интервала;

i_ме - величина медианы, интервала;

- полусумма частот ряда;

S_{ме - 1} - сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_ме - частота медианного интервала.

Контрольные вопросы

1. Что характеризуют мода и медиана?

2. Как подсчитываются мода и медиана для дискретного ряда с четным числом уровней ряда?

3. Как определяется мода и медиана дискретного ряда с нечетным числом уровней?

Задачи

В результате обследования рабочих завода получены следующие данные (табл. 26):

Таблица 26

Группы рабочих по уровню образования (число классов)	до 4	5	6	7	8	9	10
Число рабочих	10	10	12	32	15	6	25

Определите моду уровня образования рабочих.

2. По данным выборочного обследования семей области получено следующее распределение семей по размеру совокупного дохода на члена семьи (табл. 27):

Таблица 27

Размер совокупного дохода на члена семьи, р.	650	800	1100	1300	1600	Свыше 1600
Число семей в процентах к итогу	5	12	42	19	10	12

Определите моду среднедушевого дохода семей.

3. Для определения влажности пиломатериалов обследовано 50 одинаковых партий пиломатериалов получены следующие данные (табл. 28):

Таблица 28

Группы партий пиломатериалов по влажности, %	Число проб	Группы партий пиломатериалов по влажности, %	Число проб
20 - 22	3	26 – 28	18
22 -24	6	28 – 30	7
24 - 26	11	30 –32	5
Итого	-	-	50

Определите моду влажности пиломатериалов.

4. Определите медиану по следующим данным о времени простоя 7 станков за смену (мин): 20, 70, 40, 60, 65, 38.

5. Определите медиану, используя следующие данные о нормах выработки 7 учениками завода (изделие А, шт.): 20, 18, 19, 22, 24, 16, 21.

6. Определите медиану, используя следующие данные по выработке продукции учениками завода (табл. 29):

Таблица 29

Произведено продукции за смену, шт.	16	18	19	20	21	22	24
Число учеников, чел.	4	7	12	11	10	4	3

6. МЕТОД ВАРИАЦИЙ В СТАТИСТИКЕ

Вариацией признака является различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов, которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Под вариацией в статистике понимают такие количественные изменения величины исследования признака в пределах однородной совокупности, которые обусловлены перекрещивающимся влиянием действия различных факторов.

Различают вариацию признака: случайную и систематическую.

Анализ систематической вариации позволяет оценить степень зависимости изменений в изучаемом признаке от определяющих ее факторов.

Степень близости данных отдельных единиц x_iк средней измеряется рядом абсолютных, средних и относительных показателей.

1. Размах вариации R определяется как разность между наибольшими и наименьшими значениями вариационного признака. Является наиболее простым измерителем.

(16)

2. Среднее линейное отклонение - учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности, является более совершенной мерой вариации.представляет собой среднеарифметическую из отклонений отдельных значений варьирования признака от их среднего значения (без учета знака этих отклонений):

- простое среднее линейное отклонение:

(17)

- взвешенное среднее линейное отклонение:

. (18)

3. Средний квадрат отклонений – дисперсия ²определяется как средняя из отклонений, возведенных в квадрат.

²=, (19)

²=. (20)

4. Среднее квадратическое отклонение. Корень квадратический из дисперсии ² ср. квадрата отклонений представляет собой среднее квадратическое отклонение

. (21)

²иявляются общепринятыми мерами вариации признака. Среднее квадратическое отклонение является величиной именованной и измеряется в тех же показателях, в каких и варьирующий признак.

5. Показатели относительного рассеивания. Коэффициент осцилляции К_оотражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

100 %. (22)

5. Относительное линейное отклонение (коэффициент колеблемости) характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

(23)

Коэффициент вариации:

(24)

Учитывая, что дает обобщенную характеристику колеблемости всех вариантов совокупности, коэффициент вариации является наиболее распространенным показателем колеблемости.

Если V > 40 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучении совокупности.

1. Свойства дисперсии

Если из всех значений вариант отнять какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится.

. (25)

2. Если все значения вариант разделить на какое-то постоянное число А, то средний квадрат отклонений уменьшится от этого в А²раз, а среднее квадратическое отклонение - в А раз.

(26)

3. Если исчислить средний квадрат отклонений от любой величины А, которая в той или иной степени отличается от средней арифметической , то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений², исчисленного от средней арифметической

При этом больше на вполне определенную величину – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной, т.е. на :

. (27)

или

. (28)

Способ моментов

Дисперсия от средней имеет свойство минимальности, т.е. она всегда меньше дисперсии, исчисленных от любых других величин. В этом случае, когда А = 0, и, следовательно, не вычисляется отклонение, формула принимает следующий вид:

если А = 0,

(29)

или

, (30)

где - среднее квадратическое значение признака m₂;

()² - квадрат средних значений признака m₁².

(31)

Изложенный способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов или способом отчета от условного нуля.

Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим формулу

(32)

Контрольные вопросы

1. Что такое вариация признака?

2. Перечислите показатели, которыми измеряется вариация признаков.

3. Что такое дисперсия и как она вычисляется?

4. Как вычисляется среднее квадратическое отклонение?

5. Что представляет собой коэффициент вариации?

Задачи

1.Предприятия района (всего 40 предприятий) распределены по объему товарооборота (табл.30):

Таблица 30

xi (тыс.р.)	до 400	400-500	500-600	600-700	свыше 700	Всего
mi	9	11	8	10	2	40

Рассчитать объем товарооборота в среднем на одно предприятие, медиану, моду, коэффициенты, вариации.

7. По данным о выпуске продукции по заводам отрасли исчислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение (табл. 31):

Таблица 31

Номер завода	1	2	3	4	5	6
Выпущено продукции за год, тыс. т	60	52	40	60	50	38

8. Определите дисперсию, если известно, что средняя величина признака равна 2600 единиц, а коэффициент вариации 30 %.

9. Дисперсия признака равна 360000, коэффициент вариации 50 %. Чему равна средняя величина признака?

10. Средняя величина признаков совокупности равна 13, а средний квадрат индивидуальных значений этого признака 174. Определите коэффициент вариации.