ММЗИ / Лекции / Применение модулярной арифметики для факторизации чисел

Применение модулярной арифметики для факторизации чисел.

Как следует из основного постулата арифметики, любое число может быть представлено в виде произведения простых сомножителей единственным образом. Решение задачи представления произвольного целого числа в форме произведения простых сомножителей называется факторизаций этого числа и является сложной математической задачей.

Нахождение частных случаев зачастую существенно снижает сложность этой задачи.

Теорема 1.

Для любого целого b и любого положительного n, число bⁿ-1 делится на b-1 и частное имеет вид: b^n-1 + b^n-2 +…+ b² + b + 1

Доказательство:

Существует полиномиальное тождество, вытекающее из того , что 1 есть корень многочлена xⁿ-1 и следовательно разность x-1 делит xⁿ-1. При делении многочлена получается (Этот результат можно получить также умножая на , а затем вычитая после приведения подобных члено получим искомый результат). Подставим вместо и получим искомый реультат.

Следствие. Для любого целого b и любых целых положительных n и m выполняется равенство:

Для доказательства этого следствия достаточно подставить вместо b в предыдущей теореме

Пример 1.

2³⁵-1

положим, что n=7, m=5, следовательно

(2⁵-1)|( 2³⁵-1)

а если n=5, m=7, то (2⁷-1)|( 2³⁵-1)

Теорема 2.

Пусть b и m – взаимно просты, а числа a и c целые положительные

Если

Доказательство.

Используя алгоритм Евклида может записать d в виде d = UA + VC, с целыми коэффициентами U и V легко проверить, что одно из двух чисел U и V положительно, а другое отрицательно, либо 0.

В этом случае мы можем положить для определенности, что U > 0, V >= 0.

Возведем обе части сравнения в степень –V. Поделив полученные сравнения, получим:

^ЧТД.

Теорема 3.

Если р – простой делитель числа bⁿ-1, то либо:

1. для некоторого собственного делителя d числа n: d|n.

2. , причём, если р>2, а n ― нечетно, то в случае 2

Доказательство.

По условию теоремы , кроме того, по малой теореме Ферма .

В этих условиях с учетом предыдущей теоремы

Если d<n это означает, что p|b^d-1 для некоторого собственного делителя d числа n (d|n), т.е. имеет место случай 1. с другой стороны, если d=n, то поскольку d|p-1 имеет место сравнение

И наконец, если p и n – нечетны и n|p-1, т.е. имеет место случай 2, то очевидно, 2n|p-1

ЧТД.

Рассмотрим применение доказанной теоремы при разложении на множители больших чисел

Пример 1. Требуется разложить множители 2¹¹-1.

Если p|2¹¹-1, то согласно последней теореме

Поэтому можно проверить лишь числа, удовлетворяющие последнему сравнению, т.е. 23, 45, 67 и т.д.

Однако, очевидно, что следует перебрать числа,

не превышающие

2¹¹ – 1 = 2047 = 23 * 89

Аналогичным образом можно показать, что некоторые числа вида 2ⁿ-1 являются простыми, например 2¹³-1, которые называются числами Мерсенна.

Пример 2. Разложить на множители 3¹²-1 =531440.

В соответствие с последней теоремой сначала проверим делители чисел 3¹-1; 3²-1; 3³-1; 3⁴-1 и т.д., т.е. делители числа, которых не было в разложении 3³-1

3⁶ – 1 = (3² - 1)(3³ - 1)

Таким образом, получаем 2⁴, 5, 7, 13.

Поскольку , простое число, => мы нашли искомую факторизацию.

Замечание. Как и следовало ожидать, простое число, отсутствующее среди делителей чисел вида 3^d-1, где d – есть собственный делитель числа 12:

Пример 3. Разложить на множителе число 2³⁵-1 = 343597367

Вначале рассмотрим делители числа 2^d-1, для d=1, 5, 7

Это дает нам простые множители 31 и 127

В общем случае необходимо проверить все такие числа до .

Однако мы сразу получаем делитель 71.

, т.е.