Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) (ЮРГТУ (НПИ))

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Делимость и алгоритм Евклида

.doc

Скачиваний:

Добавлен:

11.04.2015

Размер:

444.93 Кб

Скачать

☆

Делимость и алгоритм Евклида

Понятие делимости является одним из фундаментальных понятий теории чисел.

Определение 1. Для данных целых чисел и говорят, что делит (или иными словами, что делится на ), и обозначают если существует такое целое число , что :

(1)

В этом случае число называют делителем числа . Очевидно, что любое целое число имеет, по крайней мере, два положительных делителя: 1 и .

Определение 2. Собственным делителем числа называют любой положительный делитель, не равный .

Определение 3. Нетривиальным делителем числа называют любой положительный делитель, не равный 1 или .

Введенное понятие нетривиального делителя используем для определения понятия простого числа.

Определение 4. Простым (prime) называют целое число большее 1, не имеющее нетривиальных делителей.

Определение 5. Составным (complex) называют число, имеющее, по крайней мере, один нетривиальный делитель.

Непосредственно из определения делимости (1) следуют свойства данного отношения:

1. Если делит , и − любое целое число, то делит произведение :

2. Если делит , а , в свою очередь, делит , то делит :

3. Если делит , и делит , то делит :

В дальнейшем, для некоторого простого и целого, неотрицательного числа запись вида будем использовать для обозначения того факта, что − наивысшая степень , делящая :

В этом случае говорят, что точно делит .

Основная теорема арифметики утверждает, что любое натуральное число может быть представлено в виде произведения простых делителей единственным образом, с точностью до перестановки. Данное представление принято записывать в форме произведения делителей в соответствующих степенях, располагая простые числа в порядке возрастания.

Пример 1. Рассмотрим разложение числа в виде произведения простых сомножителей:

Из основной теоремы арифметики следуют нижеприведенные свойства делимости:

4. Простое число делит произведение целых чисел , в том и только в том случае, когда делит , либо делит :

5. Если делит и, делит , и если и не имеют общих делителей больших 1, то произведение делит :

Из основной теоремы арифметики следует также простой способ отыскания всех делителей по его разложению. А именно, любой делитель числа должен быть произведением тех же простых сомножителей в степенях, не превышающих степени, точно делящие .

Таким образом, если , то для некоторого , удовлетворяющего условию .

Пример 2. Для нахождения делителей числа необходимо взять в степени или , умножить на в степени или , на в степени или и на в степени или .

В этих условиях число всех сомножителей есть произведение числа способов выбора степени для каждого простого сомножителя, которое, в свою очередь, равно . Иначе говоря, число имеет различных делителей.

Пример 3. Число имеет различных делителей.

Определение 7. Наибольшим общим делителем двух данных чисел и (обозначается ), не равных одновременно нулю, называется наибольшее целое число , делящее одновременно и .

Нетрудно показать, что приведенное выше определение эквивалентно следующему.

Определение 8. − есть единственное целое положительное число, которое делит и , и делится при этом на любой их общий делитель.

Из школьного курса математики известен следующий способ нахождения наибольшего общего делителя двух положительных чисел по известному разложению на множители. Для отыскания необходимо взять все простые числа, входящие в оба разложения, и каждое возвести в степень, равную минимуму из двух соответствующих показателей.

Пример 4. Пусть дано и . Тогда .

Определение 9. Наименьшим общим кратным двух данных чисел и (обозначается ), не равных одновременно нулю, называется наименьшее целое положительное число , делящееся одновременно на и .

Имея разложение на простые множители чисел и , можно получить значение , взяв все простые, входящие хотя бы в одно из разложений, и каждое возвести в степень, равную максимальной из имеющихся в двух разложениях.

Кроме того, нетрудно показать, что наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное связаны следующим соотношением:

Рассмотренный метод отыскания двух чисел основывается на использовании представления этих чисел в виде произведения простых множителей. Однако на практике такой метод мало применим, так как разложение числа, как правило, неизвестно, и его отыскание (как будет показано в дальнейшем) является сложной математической задачей.

Другим, наиболее известным способом отыскания наибольшего общего делителя двух чисел является алгоритм, впервые изложенный в трудах древнегреческого математика Евклида (IV-III вв. до н.э.), и потому называемый по его имени.

В общем случае алгоритм Евклида заключается в следующем.

Пусть , , и мы хотим найти . Разделим на с остатком , . Если , то разделим на : , и т.д. Получим последовательность равенств с убывающими остатками :

(2)

где

Если — последний ненулевой остаток, то . Очевидно, что, в этом случае .

Процедура вычисления последовательности (2) называется алгоритмом Евклида.

Пример 5. Найти .

Решение:

Таким образом.

Для практического использования приведенного алгоритма важнейшим является вопрос о времени его выполнения.

Теорема 1. При алгоритм Евклида позволяет вычислить за время порядка .

Доказательство:

Во-первых, очевидно, что остатки в алгоритме Евклида строго уменьшаются с каждым шагом, и следовательно достигнут в конце концов нуля. Чтобы убедиться, что последний остаток есть НОД, воспользуемся вторым определением НОД. Получаем, что если некоторое число делит и и , то оно должно делить и . А так как оно делит и , то оно должно делить и т.д. В конце концов, получаем, что оно должно делить последний ненулевой остаток. С другой стороны, переходя от последнего шага к предыдущему, легко видеть, что последний остаток должен делить все предыдущие остатки, а также и . Так это НОД, по второму определению.

Главный вопрос в данном случае состоит в том, сколько раз производится деление.

Лемма: .

Доказательство:

Если , то сразу получаем . Пусть теперь . В этом случае следующее деление дает и . Ч.т.д.

Таким образом мы убедились, что за каждые два шага алгоритма остаток уменьшается, по крайней мере, вдвое [3]. Таким образом, результат работы алгоритма достигается не позднее чем через делений чисел разрядностью, не превосходящих каждое. Отсюда получаем искомую оценку времени.

Теорема 2. Наибольший общий делитель двух чисел и , где , можно представить в виде линейной комбинации этих чисел с целыми коэффициентами и , за время порядка .

Схема доказательства. Для доказательства теоремы достаточно показать [2,3], что представление числа может быть найдено путем последовательного выражения через все более ранние остатки в алгоритме Евклида, на что будет затрачено одно умножение и одно сложение или вычитание. Поскольку количество операций реализующих сложение есть величина более низкого порядка, то получаем искомую оценку времени.