Коэффициент вариации

Напомним, что стандартное отклонение - абсолютная мера рассеяния вариантов ряда. В ряде случаев необходима относительная  мера рассеяния. Например, при сравнении вариации в нескольких рядах.

Предположим, что стандартное отклонение в выборке валютных счетов в банке «А» и банке «В» равно $20. Данные по банку «А» содержат информацию о счетах, сумма которых находится в пределах $60. В банке «В» данные содержат информацию относительно счетов, сумма которых достигает $1 миллион и больше. В первом случае стандартное отклонение в 20 единиц очень велико относительно сумм счетов. Для суммы порядка $1 миллиона - что значит вариация плюс-минус $20 относительно среднего? Конечно, такая вариация будет каплей в море. Сравнивая эти два случая, можно сказать, что такая абсолютная мера рассеяния как стандартное отклонение не передает существенной информации при сравнении вариационных рядов. Коэффициент вариации создан специально как относительная мера вариации. Обозначается коэффициент вариации - V, он позволяет представить дисперсию как долю от среднего арифметического значения:

(5)

Можно выразить вариацию в процентах. Для этого необходимо умножить значение коэффициента вариации V на 100.

Если в выборке счетов средняя , а стандартное отклонение=20, то V=/x=20/60 =0.33. С другой стороны, если средняя сумма счетов=1000000, а стандартное отклонение равно 20, то V = /=20/1 000 000 = 0.00002, что значительно меньше.

Чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя.

Использование коэффициента вариации имеет смысл при изучении вариации признака, принимающего только положительные значения. Совершенно неправильно пользоваться V в случае измерения колеблемости признака, принимающего как положительные, так и отрицательные значения. Не имеет смысла, например, V, вычисленный для изучения колеблемости среднегодовой температуры воздуха, что особенно ясно при среднегодовой температуре близкой к нулю

Меры вариации для сгруппированных данных. Правило сложения дисперсий

Вариация признаков, как правило, обусловлена влиянием различных факторов. Если совокупность разбить на группы по факторному признаку, то это окажет определенное влияние на значение вариации признака в группах. Выявить долю вариации, определяемую теми или иными факторами, можно разделяя всю совокупность на группы по фактору, влияние которого исследуется. Чаще всего для этих целей используются показатели вариации для сгруппированных данных. В этом случае выделяют три вида дисперсий: Общую дисперсию; внутригрупповую дисперсию, межгрупповую дисперсию.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов. Внутригрупповая дисперсия измеряет вариацию признака внутри группы, а межгрупповая дисперсия измеряет вариацию групповых средних относительно общей средней.

Рассмотрим простейший случай, когда исходная совокупность делится на однородных групп по одному признаку-фактору.

Допустим, имеется распределение исходной совокупности, представленное в следующей таблице:

Значение признака	Число	единиц	в -й	группе	Итого
	1	2	…	m
			…
			…
…	…	…	…	…	…
			…
Итого			…

Сначала вычислим частных средних, то есть среднее значение признака в каждой группе:

,

,

…

.

На основе частных средних определяем общую среднюю по формуле

,

где .

Общая дисперсия совокупности

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий (факторов), действующих в совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дисперсия, которая исчисляется как отклонение групповой средней от общей средней:

.

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает частная (внутригрупповая) групповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака от частной средней

…….

В общем виде частную дисперсию запишем так:

где - частоты отв каждойгруппе.

Так как изучаемая совокупность разбита на несколько групп, то для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет выражать внутригрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя арифметическая из групповых дисперсий:

Существует закон, связывающий три вида дисперсии: