Ранговая корреляция

Если n вариантов ряда расположены в соответствии с возрастанием или убыванием признака х, то говорят, что объекты ранжированы по этому признаку. Ранг для х_i указывает место, которое занимает i-е значение признака среди других n значений признака х (i=1,2,..n).

Например, при исследовании рынка можно задаться целью выяснения предпочтений потребителей при выборе товара (при покупке акций, мороженного, водки и т.п.), таким образом, чтобы они распределили товар в порядке возрастания (или убывания) своих потребительских предпочтений. Если имеется два набора ранжированных данных, то можно установить степень линейной зависимости между ними. Предположим имеется 5 продуктов, которые ранжированы по порядку предпочтений от 1 до 5 в соответствии с двумя характеристиками А и В.

Характеристики для ранжирования	Продукты V W X Y Z
A B	2 5 1 3 4 1 3 2 4 5

Использование для определения интенсивности связи между признаками коэффициента Пирсона буде не верным, так как коэффициент Пирсона применяется для признаков, измеряемых на количественных шкалах. Поясним, например, при измерении взаимосвязи между ростом и весом, мы измеряет рост в см. а вес в кг., при этом я могу точно определить на шкале измерений разницу в значении этих признаков для любого человека (или говоря другими словами, расстояние между ними на шкале измерений). Возьмем простейшую ранговую шкалу – экзаменационная оценка. Значит ли, что получивший двойку студент иметт знаний в два раза меньше, чем тот, кто получил четверку? Или двое студентов, получивших тройки имеют абсолютно одинаковый набор знаний? Ответ – нет, просто преподаватель упорядочивает их уровень знаний в определенной последовательности, но расстояние между значениями признаков на такой шкале не является строго фиксированным.

Для определения наличия взаимосвязи между ранговыми оценками используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена. Его расчет основан на различиях между рангами.

Обозначим D= ранг A – ранг B

Коэффициент Спирмена равен:, (11),

где n – число пар ранжированных наблюдений.

В нашем примере мы имеем пять пар рангов, следовательно, n = 5. Cумма D² равна:

(2-1)² + (5-3)² + (1-2)² + (3-4)² + (4-5)²=1+4+1+1+1=8

Коэффициент Спирмена равен:

То есть мы нашли достаточно сильную линейную связь. Коэффициент Спирмена изменяется в интервале от [-1; 1] и интерпретируется так же как и коэффициент Пирсона. Разница лишь в том. что он вычисляется для ранжированных данных.

Значимость коэффициента Спирмена проверяется на основе t критерия Стьюдента по формуле: . (12).

Значение коэффициента считается существенным, если t_расч. > t_крит. (; k = n-2).

(Коэффициент ранговой корреляции Кенделла на самостоятельное изучение. Ефимова М.Р. стр. 249-251, Елиссева И.И. стр.259-263, Шмойлова Р.А.стр.281-289)