моделирование / LabNo7

Наибольшее или наименьшее значение функции без учета того, где на-

ходится такое значение, – внутри заданного интервала или на его границе – называют оптимумом. Оптимум – более широкое понятие, чем экстремум.

Согласно определению признака экстремума, функция f ( x ) имеет мак-

симум (минимум) в точке x * , если в достаточной близости от этой точки всем значениям x соответствуют значения f ( x ) меньшие (большие), чем f ( x * ) .

Для случая максимума это показано на рис. 6.1.

Максимум и минимум функции объединяются понятием экстремум, ко-

торый может быть как локальным, так и глобальным. На рис. 6.2 функция f ( x ) принимает максимальные значения в вершинах В и D. При этом В > D.

В таком случае говорят, что точка В является глобальным максимумом, а

точка D – локальным. Аналогично функция f ( x ) принимает минимальные значения в точках А, С, Е, причем С < А < Е. В этом случае С будет глобаль-

ным минимумом, а А и Е – локальными минимумами. Из приведенных при-

меров видно, что глобальным максимумом (минимумом) называют такой максимум (минимум), который больше (меньше) всех остальных.

Достаточно часто при введении граничных условий типа x b , показан-

ных на рис. 6.3, наибольшее значение функции находится на границе в точ-

ке x b . При этом величина f ( x ) не удовлетворит приведенному выше при-

знаку экстремума.

Рис. 6.3

В таких случаях говорят, что в точке x b находится оптимум функ-

ции f (b ) B .

Если экстремум есть не у всех функций, то в практических задачах оп-

тимум, как правило, есть всегда. Так же как и экстремумы, оптимумы могут

быть локальными и глобальными.

Существующие методы дают возможность находить только локальные оп-

тимумы. Если же есть подозрение, что в заданном интервале a j x j b j целе-

вая функция f ( x j ) может иметь несколько оптимумов, то этот интервал сле-

дует разбить на n интервалов, в каждом интервале определить свои локаль-

ные оптимумы, а затем из всех локальных оптимумов выбрать глобальный. В

таком случае задача нахождения глобального оптимума сводится к решению ряда задач, в которых ищется локальный оптимум.

В дальнейшем мы будем рассматривать нахождение только локального оп-

тимума. Следует отметить, что в подавляющем большинстве практических экономических и технических задач оптимизации существует только один оптимум.

Решение задачи безусловной оптимизации

Задачи нелинейной оптимизации могут решаться различными методами.

Методы, реализованные в Excel, относятся к методам поиска. Метод поиска экстремума функции произвольного числа переменных производится сле-

ближе к искомому экстремуму, что сократит время поиска. Но как же такую точку выбрать? Если решается реальная задача, то специалист всегда знает ожидаемую область нахождения экстремума, в которой и следует задать на-

чальную точку. Если решающий задачу не является специалистом в данной области, то обязательные требования заключаются в том, чтобы целевая функция в начальной точке не была равна нулю.

Рис. 6.4

Графическое изображение такого движения для случая поиска мак-

симума при j = 1,2 показано на рис. 6.5.

3.Принять величину шага ti .

4.Определить координаты конца первого шага x j 0 .

5.Вычислить значения признака экстремума на первом шаге.

6.Проверить выполнение признака экстремума.

Если условие признака выполняется, то принимается, что экстремум находится в точке x j 0 , если нет – аналогично выполняется второй шаг и так далее до выполнения условия, характеризующего достижение экстремума.

Важный вопрос поиска – признак достижения экстремума, т. е. верши-

ны. В Excel таким признаком является величина относительного приращения функции на каждой итерации:

Экстремум считается достигнутым, если выполняется условие

Fk Fзад ,

где Fзад – точность, назначаемая при решении задачи.

В приведенном алгоритме мы ничего не сказали о том, как же выбирать направление и длину шага на каждой итерации. А этот вопрос является ис-

ключительно важным, т. к. именно он определяет точность полученных ре-

зультатов и быстроту сходимости, т.е. число итераций, за которое будет дос-

тигнут экстремум. Методы выбора направления и длины шага бывают раз-

личных типов. Рассмотрим некоторые из них, реализованные в Excel.

Методами поиска называются такие методы, которые для определения направления и величины шага t используют только значение целевой функции. Такие методы называют также методами нулевого порядка.

Градиентные методы или методы первого порядка – это такие методы,

в которых для определения направления и шага t используются значения первых производных целевой функции и определяется ее градиент.

Методами Ньютона или методами второго порядка называются такие методы, в которых для определения направления и шага t используются значения вторых производных целевой функции.

Чем выше порядок методов, тем больше вычислений на каждой итера-

ции, но тем меньше требуется итераций. И, естественно, наоборот. Наиболее распространенными являются градиентные методы. Такое положение объяс-

няется тем, что с одной стороны, они не требуют на каждой итерации очень больших вычислений, т.к. вычисляется только целевая функция и ее первые производные, а с другой – у этих методов достаточно хорошая сходимость,

т.е. они обеспечивают нахождение экстремума за небольшое число итераций.

Градиентные методы по способу определения направления и шага t име-

ют много разновидностей.

Таковы основные идеи поиска решения в задачах безусловной оптимизации.

Пример. Определить градиентным методом max функции:

f ( x1 , x 2 ) 4 x1 2 x 2 x12 x 22 5

Решить задачу методом градиентного спуска.

Решение. За начальную точку выберем x 0 (4,5) ; f(x)=-20.

C помощью соответствующих настроек меню ПАРАМЕТРЫ, процедуры ПОИСК РЕШЕНИЯ получим следующий результат.

Таким образом, точка (2,1) является стационарной и значение функции f(2,1)=0.