2.6. Оценка результатов наблюдений

Целью статистической оценки является отыскивание оценки генерального параметра на основе выборочного параметра. Будем предлагать, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение.

Основным оцениваемым параметром является генеральное среднее, т.е. математическое ожидание.

2.6.1. Оценка математического ожидания

Математическое ожидание легко определяется, если известна генеральная дисперсия . Зная, можно дать оценку для математического ожидания даже по одному наблюдению.

Пример 1. Определить доверительный интервал математического ожидания "а" по одному наблюдению, если известно, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с значением дисперсии. В качестве доверительной вероятности возьмем Р=0.96.

Берем в качестве доверительных границ симметричные квантили

или

Тогда имеем : по таблице.

Для общего нормального распределения из (2.5)

Если над случайной величинойпроведено несколько наблюдений, то для оценки математического ожидания можно использовать выборочное среднееи тогда

Если генеральная дисперсия известна, то и окончательно получаем:

Отсюда видно, что уменьшение интервальной оценки обратно пропорционально корню квадратному из числа наблюдений.

Пример 2. Оценить математическое ожидание "а" по генеральной дисперсиии трем измерениям:

Возьмем уровень значимости . Определим;;, т.к. вероятностьопределена через уровень значимости, и;или имеем. Тогда

;

;

.

В этом примере мы приняли случайную величину с нормальным законом распределения с параметрамии. Благодаря этому квантильимеет стандартное нормальное распределение и с вероятностьюи удовлетворяет неравенству.

Однако в расчетах вместо берут, как правило, выборочную дисперсию. Это означает, что вместо квантилинужно рассматривать величину.

При больших величинамало отличается оти поэтому значениясовпадают с.

При малых же объемах выборок различие между иможет оказаться существенным и, кроме того, само распределение величиныне является нормальным.

Используя общие законы теории вероятности, можно вывести формулы, описывающие распределение величины . Это распределение называется-распределением или распределением Стьюдента. Это распределение зависит только от степени свободы, по которым подсчитывается дисперсия. Если объем выборки равен, то

Закон распределения Стьюдента с степенями свободы имеет плотность

где - известная гамма - функция.

Рис. 2.3. График плотности - распределения

Свойства плотности хорошо видны на графике плотности - распределения (рис. 2.3). Они напоминают плотность нормального распределения. Привыборочная дисперсия стремится к генеральнойи распределение Стьюдента сближается с нормальным. При малыхраспределениесильно отличается от нормального. Поэтому роль- распределения существенна в статистике малых выборок, еще называемой микростатистикой. Будем обозначать черезквантили- распределения.

При доверительной вероятности для величиныполучаем доверительную оценку. Учитывая, чтополучимили

Эта оценка очень похожа на ранее рассматриваемые оценки, только здесь вместо беретсяи поэтому вместонеобходимо брать.

Значения для различных чисел степеней свободыи уровней значимостиприводятся в соответствующих книгах по математической статистике.

Распределение Стьюдента позволяет оценить математическое ожидание при неизвестной генеральной дисперсии. При этом число наблюдений может быть очень малым.