Статистические методы исследования объектов и систем управления

________________________________________________________________________________

Глава 2. Статистические методы исследования объектов и систем управления

2.1. Общие понятия и определения. Выборочная статистика

Статистические методы используют идеи и методы многомерной математической статистики. Формализация процессов здесь осуществляется эмпирическими методами. [6,13]

Основной задачей математической статистики является разработка методов получения научно обоснованных выводов о массовых явлениях и процессах из данных наблюдений или экспериментов.

В математической статистике вводится совсем новое и глубоко абстрактное понятие генеральной совокупности. Она представляет собой совокупность всех мыслимых наблюдений над случайной величиной при заданных условиях эксперимента. Если в результате эксперимента получены значения , то эти величины образуют выборку, а числоназываетсяобъёмом выборки.

Термин выборочная статистика обозначает некоторое числовое значение, подсчитанное на основе обработки данных выборки. Следует помнить, что выборка охватывает не всю генеральную совокупность, поэтому выборочные статистики являются случайными величинами. Выборочными статистиками являются : среднее значение, выборочная дисперсия и выборочный коэффициент корреляции случайной переменной величины .

–это плотность вероятности или плотность случайной величины, где –функция распределения.

Выборочные статистики рассмотрим после функции распределения.

2.2. Функция распределения выборок

Функцией распределения случайной величины называют .

Полученные при эксперименте числа считают совокупностью значений некоторой конечнозначной величины. При этом считают, что все эти числа являются различными элементами, независимо повторяются они или нет, т.е. каждый элемент выборки появляется лишь в результате одного измерения. Поэтому каждому элементуприписывают вероятность.

Полученное равномерное распределение величины называютэмпирическим или выборочным распределением. При увеличении объема выборки распределение случайной величиныоказывается близким к распределению генеральной совокупности. Это утверждение доказывается основной теоремой математической статистики.

Согласно этой теоремы: при с вероятностью, равной единице, разность между функциями распределения случайных величинистремится к нулю

Практически при достаточно большом объеме выборки функцию распределения генеральной совокупности можно приближенно заменить выборочной функцией распределения.

Вспомним, как вычисляется функция распределения. Для любого функция распределения равна сумме вероятностей значений величиныне превосходящей.

Считают, что все элементы выборки имеют одинаковую вероятность равную . Поэтому функция распределения выборки в каждой точке равна числу элементов выборки, меньших, чем, деленному на объем.

Пример. Пусть выборка состоит из элементов -1.8; -1; 0.3; 2; 5. Объем выборки . Тогдакаждого элемента:. Определим функцию припри. Графическая иллюстрация примера приведена на рис.2.1.

Рис. 2.1. Графическая иллюстрация примера

2.3. Числовые характеристики распределения вероятностей

2.3.1. Среднее выборки. Математическое ожидание

Среднее выборки является наиболее эффективной выборочной статистикой. С помощью его оценивается математическое ожидание соответствующей случайной величины , т.е.. Математическое ожидание для бесконечного ряда совокупности определяется следующим выражением:где– плотность вероятности. Математическое ожидание для конечного ряда совокупности –.

Случайная величина конечнозначна и имеет равномерное распределение. Поэтому среднее выборки есть среднее арифметическое элементов выборки

При достаточно большом среднее может быть приближенно равным математическому ожиданию. При ограниченном числе опытов среднее выборки является случайной величиной, но все же оно дает более точное представление о математическом ожидании случайной величины.