2.3.2. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия случайной величины служит наилучшей оценкой дисперсии генеральной совокупности. Выборочная дисперсия также является случайной величиной и определяется выражением:

.

Однако, учитывая, что на практике значение не точно равно, т.е., дисперсиядает, как правило, заниженную оценку рассеяния значений генеральной совокупности. Приведем пока без доказательства выражение:

.

Из этого выражения видно, что истинный результат рассеяния значений генеральной совокупности не совпадает с результатом рассеяния значений конечнозначной случайной величины. Значениеполучается несколько меньше значения. Поэтомуназываютсмещенной оценкой дисперсии . В качестве дисперсии выборки рассматривают величину

или (2.1)

Величина является несмещенной оценкой генеральной дисперсии

Докажем несмещенность выборочной дисперсии S².

Преобразуем выражение (2.1)

(2.2)

Представим величину в следующем виде:

(2.3)

здесь .

Подставим правую часть выражения (2.3) в (2.2):

(2.4)

Найдем математическое ожидание обеих частей выражения (2.4):

или .

Отсюда следует, что математическое ожидание выборочной дисперсии равно генеральной дисперсии. Значитявляется несмещенной оценкой генеральной дисперсии.

2.3.3. Выборочный коэффициент корреляции. Понятие о корреляции

В математическом анализе зависимость между двумя величинами выражается функцией. Эта зависимость однозначно связывает независимую переменную с другой зависимой переменной. Эту зависимость называют функциональной. Ее устанавливают с помощью строгих логических доказательств на основе определенных физических законов.

Намного сложнее дело обстоит с понятием зависимости между случайными величинами. Например, если при изменении случайной величины изменится и другая случайная величина , то нельзя сразу ответить, является ли это изменение результатом зависимости от, или оно обязано лишь влиянию случайных факторов.

В природе существует причинно-следственная связь между случайными величинами. Эта связь особого рода, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой . Такую связь называют стохастической связью. Оценка силы этой связи представляет собой сложную задачу математической статистики. В общем виде эта задача до сих пор не решена. Однако существуют показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи. При этом основным показателем является коэффициент корреляции.

Необходимым и достаточным условием корреляции между случайными величинами служит неравенство

,

где – математическое ожидание величиныx и y соответственно.

Величина носит названиекорреляционного момента или чаще называют ковариацией.

На практике удобнее пользоваться безразмерным коэффициентом

Этот коэффициент называется коэффициентом корреляции. Для независимых величин коэффициент корреляции равен нулю.

Коэффициент корреляции характеризует не только наличие, но и силу стохастической связи между и. Максимальная корреляция равна.

При случайные величиныиодновременно возрастают или убывают, а прис возрастанием одной величины другая убывает или наоборот.

Коэффициент корреляции, как показатель зависимости случайных величин, имеет и слабую сторону: из равенства еще не следует независимость величини. Величины могут быть даже связаны функционально, а коэффициент корреляции может быть равен нулю. Это возможно при нелинейной зависимости. Однако, в тех случаях, когда заведомо известно, что между величинами существует линейная связь коэффициент корреляции является достаточно полным показателем.

Выборочный коэффициент корреляции является лучшей оценкой коэффициента корреляции(генерального коэффициента корреляции).

Пусть проведено испытаний и при каждом из них фиксировались значения двух случайных величин. Тогда получается- пар выборочных значений. Эти точки можно рассматривать на плоскости и их расположение дает нам представление о силе корреляции.

Рис. 2.2. Расположение экспериментальных точек на плоскости

На рис. 2.2 приведены примеры, соответствующие сильной корреляции, случайа); слабой б)и полному ее отсутствию, случайв).

Выборочный коэффициент корреляции находится аналогично, как и генеральный коэффициент корреляции.

Выборочный корреляционный момент равен

а выборочный коэффициент корреляции:

где ,– выборочные дисперсии

.

Выборочный коэффициент корреляции с увеличением объема выборки приближается к коэффициенту корреляции.

Нужно помнить, что выборочный коэффициент корреляции дает оценку для коэффициента корреляции только в тех случаях, когда совместное распределение двух случайных величиниявляется нормальным. При этом зависимость междуибудет линейной. Однако, если только каждая случайная величина имеет нормальный закон распределения, то эти величины могут быть некоррелированы, но зависимы друг от друга. Только совместное нормальное распределение случайных величин дает возможность использовать выборочный коэффициент корреляциидля анализа стохастической связи между величинами.