2.4. Квантили распределения

Рассмотренные выборочные параметры: среднее, дисперсия и коэффициент корреляции выборки являются приближенными оценками соответствующих генеральных параметров. Погрешность этих оценок будет тем меньше, чем больше объем выборки. Есть способы, с помощью которых можно оценить саму погрешность. Для этого переходят от точечных оценок параметров к оцениванию доверительных интервалов параметров. При получении интервальных оценок часто используют так называемые квантили.

Квантилем, отвечающий заданному уровню вероятностиР, называют такое значение, при котором функция распределенияпринимает значение, равноеР, т.е.гдеР– заданный уровень вероятности.

Другими словами квантильесть такое значение случайной величины, при котором

Вероятность Р, задаваемая в процентах, дает название соответствующему квантилю, например, называется 40%-ым квантилем.

Квантили стандартного нормального распределения (распределение с параметрами ) обозначаются буквой. Они легко находятся в соответствующих таблицах. Если, то подбирая такое, для которогои находим. Если, то подбираем такое, для которогои тогда. Например, 40 % квантиль будет равен85 %, квантильи т.д.

Квантиль общего нормального распределения с параметрамиивыражается через квантиль:

. (2.5)

Если известны два квантиля случайной величины и, то

Понятие квантиля используется не только для нормального , но и для большинства встречающихся распределений.

Квантиль называетсямедианой распределения. Если распределение случайной величины симметрично, то.

Например, распределение случайных ошибок симметрично. Поэтому для этого распределения можно использовать как математическое ожидание, так и медиану.

2.5. Получение интервальных оценок

Все выборочные параметры являются случайными величинами, а следовательно и их отклонения от генеральных параметров, т.е. погрешности, также будут случайными. Поэтому оценка этих погрешностей носит вероятностный характер. Можно лишь указать вероятность той или иной погрешности. Чтобы решить подобную задачу нужно найти вероятность того, что отклонения выборочного параметра от исследуемого генеральногоне превосходит по абсолютной величине некоторого заданного числа, т.е. находятся в пределах отдо. Обозначим отклонение через. Поставленную задачу можно легко решить если известна функция распределенияили плотность распределениявеличины:

(2.6)

Распределение иногда удается точно определить по элементам выборки. В других случаях это распределение зависит только от объема выборкии его можно вывести теоретически. Если бы при этом было известно математическое ожидание выборочного параметра, то разность

дает точное значение генерального параметра. К сожалению , как правило, не известно.

Определим генеральный параметр. Находят по выборке одно значение выборочного параметраи принимают его за приближенное значение генерального параметра. Затем, используя выражение (2.6) оценивают это приближение. Действительно, задаваясь некоторым положительным числом, мы можем найти вероятность того, что. Но так какесть одно из допустимых значений выборочного параметра, то вероятность неравенстватакже равна этой вероятности. Отсюда получаем формулу

которая позволяет сравнивать найденное значение выборочного параметра с неизвестным генеральным параметром.

Неизвестный генеральный параметр можно представить в виде .

Это неравенство отличается тем, что неизвестная величина , которая является неслучайной величиной, оценивается случайными границами, т.к. выборочный параметр является случайным.

Таким образом, любая статистическая оценка есть оценка вида

где некоторые случайные величины.

Придавая конкретные значения, мы сможем вычислять вероятность соответствующей оценки.

В качестве границ наиболее удобно брать квантили случайной величины. При обработке наблюдений для оценок генерального параметра берут симметричные квантили. В этом случае вероятностиРсоответствует оценка

Рассмотрим как пользоваться оценками на практике. Для этого дадим следующие определения.

Событиеназываетсяабсолютно достоверным, если оно появляется при любом осуществлении комплекса основных факторов. Абсолютную достоверность нельзя установить никакой самой длительной проверкой. Ее можно вывести лишь теоретически , путем логических умозаключений. Сюда относят обычно математические истины.

Большинство же привычных достоверных событий при рассмотрении не является абсолютно достоверным. Например, нельзя считать абсолютно достоверным тот факт, что подброшенная монета упадет гербом или числом, т.к. у монеты есть и другие состояния равновесия - это ребро. Однако, в данном случае мы можем утверждать, что монета упадет либо гербом , либо числом. Такая достоверность называется практической достоверностью.

Использования принципа практической достоверности позволяет не доводить вероятность оценки до единицы. Принимаемый при этом уровень вероятности называется доверительной вероятностью. В зависимости от конкретных обстоятельств в качестве доверительной вероятности берут обычно значения: 0.950.99; реже 0.90;0.999.

Соответствующие доверительной вероятности квантильные границы называются доверительными границами, а образуемый ими интервал -доверительным интерваломили еще называютдоверительной оценкойилиинтервальной оценкой.

Величина называетсяуровнем значимости. Уровень значимости соответствует практически невозможному событию. Уровень значимости и уровень достоверности в сумме дают единицу. Обычно значения уровней значимости берутся в пределах: 0.050.01 и реже 0.1; 0.001.