Методичка (Учебное пособие) Механика грунтов

Для вычисления коэффициентов αc(…) используем формулы, приведенные в ответе на М.3.4.

Для прямоугольников ac1e и ae3d имеем: L = 3 м; B = 1 м; z = 1 м;

Окончательно имеем

σа = 200 (0,203 – 0,175 + 0,203 – 0,175) = 11,2 кПа.

М.3.10. Доказать, что вертикальные напряжения в грунтовом массиве при плоской деформации определяются по формуле σz = p (α+sin α cos 2 β0)/π, где p – интенсивность нагрузки (кН/м2); α – угол видимости загруженной полосы из точки, в которой определяется напряжение σz; β0= (β1 + β2)/2; β1, β2

– углы, составляемые лучами, образующими угол α, с вертикалями. При доказательстве принять, что напряжение от действия полосовой (вдоль оси x) нагрузки единичной ширины (вдоль оси y) q (кН/м) определяется по формуле Фламана σz = 2 q z3/(π R4), где z – глубина от поверхности полуплоскости; R – радиус-вектор точки, в которой определяется напряжение σz.

Для решения задачи выполняем необходимые графические построения в плоскости, нормальной к оси x.

dy

p

y

β1 βi

α

z

M

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 111

Решение получаем интегрированием формулы Фламана для единичной полосовой нагрузки. Интенсивность полосовой нагрузки dq шириной dy будет:

dq = p dy = p R dβ / cosβi ,

где βi – угол между вертикалью и лучом, проведенным из точки М к площадке dy; dβ – угол видимости площадки dy.

С учетом этого будем иметь:

Из геометрических построений следует, что

α = π - π/2 - β1 - π/2 + β2 = β2 - β1.

Кроме этого учтем, что sin 2 β2 - sin 2 β1 = 2 sin (β2 - β1) cos (β2 + β1).

С учетом того, что по условию задачи β2 + β1= 2 β0, окончательно будет:

σz = (p/π) (α + sin α cos 2β0).

М.3.11. Доказать, что при действии на упругое полупространство полосовой нагрузки вектор большего главного напряжения направлен по биссектрисе угла видимости полосовой нагрузки.

Для решения задачи используем теорию напряженного состояния в точке и решения Фламана для плоской деформации. Выполняем необходимые геометрические построения в плоскости, нормальной к оси, вдоль которой действует полосовая нагрузка.

В соответствии с теорией напряженного состояния в точке угол наклона ϕ вектора большего главного напряжения к вектору напряжения σz или к оси z определяется из выражения:

tg 2ϕ = (2τzy)/(σz - σy).

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 112

Подставляя в последнее выражение формулы Фламана получаем:

α = π - π/2 - β1 - π/2 + β2 = β2 - β1 или β2 = α + β1.

Подставляя β2 в выражение для β0, будем иметь: β0 = ϕ = β1 + α/2.

Из последнего выражения следует, что вектор большего главного напряжения в точке М направлен по биссектрисе угла видимости полосовой нагрузки из точки М.

М.3.12. Получить формулы для определения главных напряжений при нагружении упругой полуплоскости полосовой нагрузкой. Принять, что угол между вертикальным напряжением σz и большим главным напряжение σ1 ϕ=β0, β0=β1+α/2, где α – угол видимости полосовой нагрузки; β1 – угол между вертикалью и левым лучом угла видимости α.

Для решения задачи используем теорию напряженного состояния в точке и решения Фламана для плоской деформации. В соответствии с решением Фламана компоненты тензора напряжений в точке определяются по формулам:

σz = πp (α +sinα cos 2β0 ); σ y = πp (α −sinα cos 2β0 ); τzy = πp sinα sin 2β0 .

В соответствии с теорией напряженного состояния главные напряжения определяются через компоненты тензора напряжений по формулам:

Полученные выражения являются окончательными.

М.3.13. Ленточный фундамент шириной 1 м передает на основание давление 200 кПа. Построить эпюру вертикальных напряжений в грунтовом массиве на глубине 1 м. Построение эпюры осуществляется по точкам: в центре фундамента; по краям фундамента; на расстоянии 0,5 м от крайних точек фундамента.

Вертикальные напряжения определяем по формуле Фламана:

σz = πp (α +sinα cos 2β0 ),

где β0 = β1 +2 β2 = β1 + α2 (см. М.3.11).

Вычисляем угловые координаты расчетных точек в грунтовом массиве. Для этих целей используем графические построения, из ответа на М.3.11.

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 113

Точка М с координатами y = 0; z = 1 м (центр фундамента): tg(α/2) = 0,5/1 = 0,5; α/2 = arctg 0,5 = 26,565°; α = 53,13°;

β1 = - α/2 = - 26,565° (поворот вертикали, образующей угол, до совпадения с лучом против хода часовой стрелки);

β2 = α/2 = 26,565° (поворот вертикали, образующей угол, до совпадения с лучом по ходу часовой стрелки); β0 = 0.

Точка М с координатами y = 0,5 м; z = 1 м (правый край фундамента):

α = 45°; β1 = - 45°; β2 = 0; β0 = - 22,5°.

Точка М с координатами y = - 0,5 м; z = 1 м (левый край фундамента):

α = 45°; β1 = 0; β2 = 45°; β0 = 22,5°.

Точка М с координатами y = 1 м; z = 1 м: tg β1 = 1,5/1 = 1,5; β1 = - arctg(1,5) = - 56,31°;

tg β2 = 0,5/1 = 0,5; β2 = - arctg(0,5) = - 26,565°;

β0 = (β1 + β2)/2 = (- 56,31° - 26,565°)/2 = - 41,4375°;

α = β2 - β1 = - 26,565° – (- 56,31°) = 29,745°.

Точка М с координатами y = - 1 м; z = 1 м: tg β1 = 0,5/1 = 0,5; β1 = arctg(0,5) = 26,565°; tg β2 = 1,5/1 = 1,5; β2 = arctg(1,5) = 56,31°;

β0 = (β1 + β2)/2 = (56,31° + 26,565°)/2 = 41,4375°;

α = β2 - β1 = 56,31° - 26,565° = 29,745°.

Вычисляем напряжения σz в расчетных точках грунтового массива: 1) y = -1 м, z = 1 м,

σz = (200/3,14) [29,745° 3,14/180 + sin 29,745° cos (2 41,4375°)] = 36,97 кПа; 2) y = -0,5 м, z = 1 м,

σz = (200/3,14) [45° 3,14/180 + sin 45° cos (2 22,5°)] = 81,85 кПа; 3) y = 0, z = 1 м,

σz = (200/3,14) [53,13° 3,14/180 + sin 53,13° cos (2 0)] = 109,99 кПа; 4) y = 0,5 м, z = 1 м,

σz = (200/3,14) [45° 3,14/180 + sin 45° cos (-2 22,5°)] = 81,85 кПа; 5) y = 1 м, z = 1 м,

σz = (200/3,14) [29,745° 3,14/180 + sin 29,745° cos (-2 41,4375°)] = 36,97 кПа.

По результатам расчетов строим эпюру напряжений в грунтовом массиве. 1 м 0,5 м 0 0,5 м 1 м у, м

0,5 м

1 м

σz

z, м

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 114

М.3.14. Давление на основание в центре абсолютно жесткого круглого штампа диаметром 1 м составляет 100 кПа. Определить нагрузку на штамп (кН), создающую указанное давление.

Распределение давлений под круглым абсолютно жестким штампом описывается формулой Прандтля:

p(r) = pm , 2 1 − (rR)2

где R – радиус круглого штампа; pm – среднее давление под подошвой штампа.

В центре штампа при r = 0 p(0) = 0,5 pm = 100 кПа, откуда pm = 200 кПа. Нагрузка на штамп равна произведению среднего давления на площадь подошвы штампа A:

N = pm A = 200 3,14 0,52 = 157 кН.

М.3.15. Давление на основание под абсолютно жесткой полосой шириной 2 м на расстоянии 0,5 м от центра равно 100 кПа. Определить нагрузку на 1 пог.м полосы, создающую указанное давление.

Давление на основание под абсолютно жесткой полосой вычисляется по формуле:

где y – координата точки, в которой определяется давление p(y); b – половина ширины полосы.

Определяем среднее давление под абсолютно жесткой полосой в функции от y и p(y):

Нагрузка на погонный метр жесткой полосы составит: q = pm 2 b = 117,75 2 = 235,5 кН/м.

М.3.16. Абсолютно жесткий круглый штамп и абсолютно жесткая полоса передают на основание одинаковые средние давления. Определить, как соотносятся давления в центре указанных штампов.

Распределения давлений под жестким круглым штампом и жесткой

где pm – среднее давление под подошвой штампа;

R – радиус круглого штампа; b – половина ширины полосы;

r, y – координата точки, в которой определяется давление p(r) или p(y).

В центре круглого штампа r = 0, а в центре полосы y = 0. С учетом этого p(r) = 0,5 pm, а p(y) = (2/π) pm. Отсюда следует, что p(y) / p(r) = 4/π.

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 115

М.3.17. Поверхность упругого полупространства загружена распределенным по прямоугольнику 2×3 м вертикальным давлением 200 кПа. Средняя осадка поверхности составляет 5 см. Определить осадку абсолютно жесткого штампа размерами в плане 2×3 м, загруженного по центру вертикальной силой 1200 кН.

Среднее давление под жестким штампом составляет: pm = 1200/(2×3) = 200 кПа.

При равных давлениях осадка абсолютно жесткого штампа равна средней осадке абсолютно гибкого штампа или, что одно и то же, средней осадке загруженной поверхности. Таким образом, осадка абсолютно жесткого штампа в данном случае равна 5 см.

М.3.18. Доказать, что удельный вес полностью водонасыщенного грунта γsat равен сумме удельных весов грунта во взвешенном состоянии γsb и грунтовой воды γw.

Введем обозначения: γs, γd, – удельный вес частиц грунта и сухого грунта; e0 – начальный коэффициент пористости; Wsat – полная влагоемкость.

Преобразуем выражение для удельного веса грунта во взвешенном состоянии:

Вычислим удельный вес грунта в состоянии полного водонасыщения из выражения для удельного веса сухого грунта

М.3.19. Основание сложено однородным грунтом со следующими характеристиками: γ=18 кН/м3; γs=27 кН/м3; е0=0,6. Уровень грунтовых вод находится на 3 м ниже поверхности основания, γw=10 кН/м3. Определить глубину, на которой бытовые давления σzg=70 кПа.

Определяем удельный вес грунта во взвешенном состоянии:

Бытовое давление определяем по формуле:

σzg = 3 γ + (z - 3) γsb.

Решая последнее уравнение относительно z, получим:

z = (σzg - 3 γ + 3 γsb)/γsb = (70 - 3 18+ 3 10,625)/10,625 = 4,5 м.

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 116

М.3.20. Определить величину дополнительных вертикальных напряжений на глубине 3 м от поверхности планировки под центром, углом и серединой стороны фундамента размером 5×5 м и глубиной заложения 1 м, давление под подошвой фундамента Рср = 270 кПа, удельный вес грунта γ = 20 кН/м3.

Дополнительные вертикальные напряжения под центром фундамента

σzp = P0 α

где α – коэффициент, определяемый в зависимости от ξ = 2 z / b и η = l / b; z – глубина расположения точки под подошвой фундамента;

l и b – соответственно длина и ширина подошвы фундамента; Р0 – дополнительное давление по подошве фундамента

Р0 = Рср −σzg 0 = 270 − 20 1 = 250 кПа;

σzg0 = γ d= 20 кПа – бытовое давление на уровне подошвы фундамента.

σzp = P0 α = 250 0,8 = 200 кПа

Дополнительное вертикальное напряжение под углом фундамента определяется по формуле:

σzp,с = 0.25 P0 α

где α – коэффициент, определяемый в зависимости от ξ = z / b и η = l / b.

σzp,с = 0.25 P0 α = 0,25 250 0,96 = 60 кПа

Дополнительное вертикальное напряжение под серединой стороны фундамента определяется методом угловых точек. Для этого площадь фундамента разбиваем на две площади 2,5×5 м и 2,5×5 м. Дополнительное вертикальное напряжение под серединой стороны фундамента определяется как сумма напряжений под углами этих площадей

σzp,1 = 2 0.25 P0 α = 2 0,25 250 0,869 = 108,6 кПа.

Механика грунтов. Практические задания. Тема №3. Стр. 117

М.3.21. Определить дополнительное напряжение на глубине 8 м под центром подошвы близкорасположенных фундаментов с размерами 2×2 м и глубиной заложения 2 м. Расстояние между центрами фундаментов по оси Х – 3 м и по оси Y – 3 м. Нагрузка на каждый фундамент N = 1600 кН. Удельный вес грунта γ = 20 кН/м3.

Среднее давление под подошвой

Напряжение от давления по подошве рассматриваемого фундамента

σzp = P0 α = 400 0,029 = 11,6 кПа.

Дополнительное вертикальное напряжение от влияющего фундамента

σzp,nf = σzp + P0 0.25 (α1-α2-α3+α4) = 11,6 + 400 0,25 0,094 = 11,6 + 9,4 = 21 кПа.

Студентам рекомендуется самостоятельно построить расчетную схему метода угловых точек для решения этой задачи и убедиться в правильности использованной расчетной формулы.

Примечание: в задачах М.3.20 и М.3.21 использованы формулы для определения коэффициентов распределения напряжений в грунтовом массиве α, полученные путем преобразования формул из задачи М.3.4 к безразмерным параметрам. Студентам рекомендуется выполнить эти преобразования и убедиться в правильности формул, использованных при решении задач М.3.20 и

М.3.21.

Механика грунтов. Практические задания. Тема №4. Стр. 118

Тема М.4. Теория предельного напряженного состояния грунтовых массивов.

М.4.1. Чему равно начальное критическое давление для идеально связного грунта (ϕ=0)?

Начальное критическое давление вычисляется по формуле:

нач.ркр. = π/(ctg ϕ + ϕ - π/2) (γ h + c ctg ϕ) + γ h. При ϕ = 0 ctg ϕ → ∞ и нач.ркр. = π c + γ h.

М.4.2. Чему равно начальное критическое давление для песка?

Начальное критическое давление вычисляется по формуле:

нач pкр = ctgϕ +πϕ −π2 (γ h + c ctgϕ) +γ h .

Для песка удельное сцепление с = 0 и

М.4.3. Чему равно начальное критическое давление для грунта с нулевыми значениями прочностных характеристик?

Начальное критическое давление вычисляется по формуле:

нач pкр = ctgϕ +πϕ −π2 (γ h + c ctgϕ) +γ h .

При ϕ = 0 ctg ϕ → ∞ и нач.ркр. = π c + γ h.

При с = 0 нач.ркр. = γ h.

М.4.4. Начальное критическое давление на грунт составляет 200 кПа, предельное критическое давление 400 кПа. В какой фазе напряженнодеформированного состояния находится грунт, если давление на грунт

составляет: а – 150 кПа; б – 250 кПа; в – 450 кПа?

а) в фазе уплотнения, т. к. р < нач.ркр.;

б) в фазе сдвигов, т. к. нач.ркр < р < пред.ркр; в) в фазе выпора, т. к. р > пред.ркр..

М.4.5. Можно ли, используя формулу Пузыревского, определить точное значение расчетного сопротивления грунта при действии полосовой нагрузки?

Формула Пузыревского получена из совместного решения уравнений Фламана, описывающих распределение напряжений в упругой среде, и условия предельного равновесия (прочности) Кулона–Мора. Зоны предельного равновесия первоначально возникают в углах полосовой нагрузки на глубине z=0. Этому состоянию соответствует давление, передаваемое на основание, называемое начальным критическим. Формула Пузыревского позволяет вычислить точное значение начального критического давления при подстановке в нее z=0. Дальнейшее нагружение приводит к распространению зон предельного равновесия на глубину z>0 и разделению грунтового массива на области упругого и пластического деформирования. При этом для областей пластического деформирования распределение напряжений в грунтовом

Механика грунтов. Практические задания. Тема №4. Стр. 119

массиве не может быть описано с помощью уравнений Фламана. В связи с этим при z>0 формула Пузыревского становится некорректной. Расчетное сопротивление грунта под полосовой нагрузкой определяется по формуле Пузыревского при подстановке в нее z=B/4, где B – ширина полосовой нагрузки. Из приведенного выше обоснования следует, что вычисляемая по формуле Пузыревского величина расчетного сопротивления грунта не является точной.

М.4.6. Доказать, что траектория точек с одинаковым значением углов

нагрузки из точек M и N.

Из приведенных соотношений следует, что sin α1 = sin α2 и α1 = α2 = α. Следовательно, точки с одинаковыми углами видимости полосовой

нагрузки лежат на окружности, проходящей через крайние точки полосовой нагрузки, что и требовалось доказать.

М.4.7. Устойчивая высота стенки траншеи, отрытой в связном грунте, составляет 4 м 28 см. Определить допустимую нагрузку (кПа) на бровку траншеи глубиной 2 м 28 см при условии, что удельный вес грунта γ=18 кН/м3.

Устойчивая высота стенки траншеи определяется по формуле:

z0 = (2 с)/[γ tg(45° – ϕ/2)] – h,

где h = q/γ ; q – величина пригруза (кПа).

Из приведенной формулы получаем выражение для определения

h = (2 с)/[γ tg(45° – ϕ/2)] – z0.

По условиям задачи при h = 0 z0 = (2 с)/[γ tg(45° – ϕ/2)] = 4,28 м.

Таким образом h = 4,28 – z0.

Примем z0 равным глубине траншеи и получим: h = 4,28 – 2,28 = 2 м; q = h γ = 2 18 = 36 кПа.

М.4.8. Чему равна высота устойчивой стенки траншеи, отрытой в песке?

Устойчивая высота стенки траншеи без пригруза на ее бровке определяется по формуле:

z0 = (2 с)/[γ tg(45° – ϕ/2)],

где с, ϕ и γ – соответственно удельное сцепление, угол внутреннего трения и удельный вес грунта.

Для песка как сыпучего материала удельное сцепление с = 0. Поэтому высота устойчивой стенки траншеи z0 = 0.