Колебания готовая лаба

Колебания

Цель работы: изучить свободные, затухающие и вынужденные колебания с применением LC колебательного контура.

Введение

Колебания – это процессы с характерной повторяемостью некоторого параметра системы. Например – колебания груза на пружине, напряжение в колебательном LC контуре и др.

По физической природе колебания м. б. – механические, электромагнитные, электромеханические и пр.. В зависимости от характера воздействия на колеблющийся параметр системы различают колебания – свободные или собственные, затухающие, вынужденные. Рассмотрим груз на пружине в качестве колеблющийся системы.

1. Свободные колебания

Характерным свойством осциллятора является то, что при малом смещении системы из положения равновесия в ней возникает возвращающаяся сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.

Эта сила пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия.

(1)

Где k – коэфициент жесткости пружины, если вращающей силой является упругая сила пружины. Если сила по своей природе не является упругой, но подчиняется закону (1), то она называется квазиупругой.

рис.1

Пусть на тело массой m действует одна квазиупругая сила F_x, , тогда уравнение движения тела согласно закону Ньютона , где

Или (2)

Где Причем круговая частота колебаний и частота колебаний связаны соотношением

(3)

Решение уравнения (2) имеет вид (4)

Колебания, совершаемые по закону синуса или косинуса, называют гармоническими (рис. 2), а сама система, соответственно, гармоническим осциллятором. При этом уравнения (2) – уравнение гармонического осциллятора. Основные параметры гармонического осциллятора:

Частота свободных (собственных) колебаний осциолятора,

Амплитуда колебаний (наибольшее смещение от положения равновесия),

Период колебаний (время, в течение, которого совершается одно колебание)

(5)

– фаза колебаний (мгновенное состояние осциоллятора)

α – начальная фаза колебаний

Рис.2 Рис.3

2. Затухающие колебания

Если в системе действует сопротивление движению, то колебания будут затухающими (рис.3). наличие сопротивления движению означает действие другой силы, которую принимают пропорциональной скорости

(6)

Это сила направлена против направления движения системы.

Тогда уравнение движения

Или

Где ;

β – коэффициент трения,

ω₀ – частота собственных колебаний

Решением уравнения (7) является

(8)

где ω – частота затухающих колебаний

(9)

Время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется постоянной затухания ( τ)

(10)

Степень уменьшения амплитуды принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

(11)

И коэффициентом затухания

(12)

Где А₁ А₂ - последовательные через период амплитуды колебаний (рис. 3).

Степень уменьшения энергии осциллятора характеризует добротность, определяемая соотношением

(13)

Поскольку энергия пропорциональна квадрату амплитуды колебаний W ~ A² , то энергия изменяется по закону

(14)

Убыль энергии колебаний за период колебаний находится из (14) дифференцированием

Подставляя в (13) имеем, используя (11, 12)

(15)

Где N – число колебаний за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

3. Вынужденные колебания

Если на механический осциллятор массы m коэффициентами жесткости к и сопротивления r действует внешняя периодическая сила частоты ω

(16)

То уравнение движения будет в виде

Или (17)

Где (18)

Решение уравнения (17) представляет сумму затухающих и вынужденных колебаний под действием силы F/ затем решение будет определяться только вынужденными колебаниями с некоторой амплитудой А и частотой вынуждающей силы ω

Подставляя (19) в (17), получим

(20)

При приближении частоты вынуждающей силы к частоте свободных колебаний амплитуда колебаний резко возрастает (рис.4). это явление называется резонансом. Частота

(21)

При которой амплитуда достигает максимального значения

(22)

Называется резонансной частотой. При

Рис.4 Амплитудная характеристика вынужденных колебаний (резонансная кривая).

Для установившихся вынужденных колебаний характерно равенство подведенной средней мощности и средней мощности потерь осциллятора. Наибольшее поглощение энергии соответствует резонансной частоте.

Интервал частот , для которого средняя поглощаемая мощность равна половине максимальной – полоса пропускания . Для амплитуды этот интервал соответствует

Остроту резонансной кривой может характеризовать добротности, определяемая как отношение амплитуды колебаний при резонансе к амплитуде вынуждающей силы

(23)

4. Электромагнитные колебания

В качестве осциллятора в данной работе использован параллельный LC контур – электрическая схема. В таком контуре могут возникать колебания тока, заряда, напряжения.

Рис.5

Инерционные свойства осциллятора определяются индуктивностью L. Аналогом сил трения – электрическое сопротивление R, коэффициент упругой силы определяется емкостью C. Вынуждающей силе соответствует напряжение, смещению – электрический заряд. Поэтому, произведя в уравнениях (1-21) замену m  L; k  1/c; r  R; F₀  V₀; xq можем воспользоваться всеми уравнениями (1-21) в новых переменных. Так, например, вынужденные колебания заряда в цепи контура описываются уравнением

(24)

Где (25)

Выполнение работы.

Затухающие колебания.

Таблица 1.

№ Амплитуды	1	2		3		4		5		6		№ Амплитуды	1		2		3		4		5		6
А+ (В)	22,5	16		11		8		6		4		А- (В)	18		12		8,5		6		5		4
λ	0,34		0,37		0,31		0,28		0,4		λ			0,4		0,34		0,35		0,18		0,22

Вынужденные колебания.

Таблица 2.

№	1	2	3	4	5
кГц	32,6	33	33,1	33,3	32,7

кГц

Собственная частота

Таблица 3.

№пп	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	средняя
кГц	31,8	31,4	30,9	30,3	29	34,5	35,5	37,4	40,6	46,5	32,9
U, В	22	20	16	12	8	22	20	16	12	8	24
U/Umax	0,92	0,83	0,66	0,5	0,33	0,91	0,83	0,66	0,5	0,33	1

Расчеты:

Ищем погрешность

N	1	2	3	4	5
A	32,6	33	33,1	33,3	32,7
А-Аср	-0,3	0,1	0,2	0,4	-0,2
(А-Аср)2	0,09	0,01	0,04	0,16	0,04

кГц

по данным графика резонансной кривой определяем полосу пропускания

=31,1

= 36,9

Вычисляем добротность контура по формуле

Вывод.

Изучив свободные, затухающий и вынужденные колебания с применением LC колебательного контура, были произведены исследования.

Исследовались затухающие и вынужденные колебания, рассчитаны степень уменьшения амплитуды (λ), коэффициент затухания (β), постоянная затухания (τ), период (T), частота затухающих колебаний (), полосу пропускания (), погрешность (σ), добротность (Q).

При построении графика (резонансная кривая) установлено что резонансная частота = 32,9 при 24В. Так же по графику была найдена полоса пропускания 5,8 кГц

Добротность была посчитана по двум различным формулам.

При работе с прибором осцилограф Q=9.81, а при построении графика и подсчете всех формул, Q=5.7