51

Российский Государственный Университет

физической культуры, спорта, молодежи и туризма

Кафедра естественно-научных дисциплин

В.С. Маркарян

РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫ

ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

Москва

2012

Автор: Маркарян В.С. – кандидат технических наук, доцент кафедры естественно-научных дисциплин Российского государственного университета физической культуры, спорта, молодежи и туризма.

Оглавление

1.Теоретические основы…………………………………………………………4

Математическая статистика. Генеральная совокупность и выборка..…………………………………………………………………............4

Графическое представление вариационного ряда………………………8

Нормальное распределение..……………………………………………..11

Аналитический анализ. Основные статистические характеристики ряда измерений………………..………………………………………………...13

Характеристики положения….…………………………………………..13

Характеристики рассеяния результатов измерений………………........15

Характеристики формы распределения………………………………....18

2. Методика выполнения расчётно-графической работы №1………………...21

Пример 1…………………………………………………………………...23

3. Теоретические основы………………………………………………………..32

Корреляционный анализ………………………………………………….32

Определение формы связи……………………………………………….33

Определение направления взаимосвязи…………………………………34

Определение степени или тесноты взаимосвязи………………………..34

Парный линейный коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона (r). Коэффициент детерминации (D)………………………………………….…...36

Оценка достоверности статистических показателей…………………...37

Статистические гипотезы………………………………………………...37

Виды статистических гипотез…………………………………………....38

Достоверность коэффициента корреляции……………………………...40

Регрессионный анализ…………………………………………………....41

Линейная регрессия………………………………………………………41

Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии……………….42

4. Методика выполнения расчётно-графической работы №2………………...44

Пример……………………………………………………………………..46

Приложение……………………………………………………………………..53

1. Теоретические основы математическая статистика Генеральная совокупность и выборка

Математическая статистика занимается разработкой методов сбора, описания и обработки статистических измерений (данных), т. е. результатов на­блюдений, с целью получения научных и практических выводов.

Статистические измерения представляют собой экспериментальные данные, полученные в результате обследования большого числа объектов или яв­лений, т.е. математическая статистика имеет дело с массовыми явлениями.

Введем основные понятия математической статистики.

Экспериментальные данные в области физической культуры и спорта пред­ставляют собой результаты измерения некоторых признаков (спортивный резуль­тат, результаты физических, психологических, биохимических, физиологических тестов) объектов, выбранных из большой совокупности объектов. Результаты из­мерений в математической статистике обозначаются латинскими буквами ( ).

Статистической совокупностью называется множество однородных объектов, объединенных по некоторому общему отличительному признаку.

Если требуется изучить некоторый признак статистической совокупности, можно провести сплошное обследование, т. е. обследование, проведенное на всей генеральной совокупности.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, подлежащих изучению. Но если число объектов достаточно велико, то осуществить указанное обследование невозможно. В таком случае для изучения интересующего признака применяется выборочный метод. Сущность этого ме­тода заключается в том, что обследованию подвергаются не все объекты совокуп­ности, а только некоторая их часть, случайно выбранная из данной совокупности; выводы, полученные при изучении этой части, распространяются на всю совокуп­ность объектов.

Таким образом, выборочной совокупностью, или выборкой, называется со­вокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Число N объектов генеральной совокупности и число n объектов выборочной совокупности называются объёмами генеральной или выборочной совокупностей соответственно, при этом N значительно больше, чем n.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова воз­вращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объём выборки составляет небольшую долю объёма генеральной совокупно­сти, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна.

Как отмечалось выше, о свойствах генеральной совокупности (случайной ве­личины Х) можно судить по данным наблюдений над отобранными объектами, т. е. по выборке. Для того чтобы по выборке можно было достаточно уверенно судить о случайной величине, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность выборки означает, что объекты выборки достаточно хорошо представляют генеральную совокупность. Репрезентативность выборки обеспечивается случайностью отбора. Это означает, что любой объект выборки отобран случайно, при этом все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

При проведении выборочных исследований предполагается, что выборка яв­ляется однородной, т. е. она получена из одной генеральной совокупности, где от­сутствуют объекты, резко выделяющиеся по значениям изучаемого признака. Обычно полученные выборочные данные представляют собой результаты измере­ний для спортсменов одного возраста, квалификации, спортивной специализации и т. п.

Все результаты спортивных измерений или наблюдений классифицируются на три основные группы:

Количественные характеристики - показатели, которые можно измерить с помощью любого прибора или те, которые имеют размерность.

Количественные показатели могут быть дискретные (прерывные) и непрерывные.

К дискретным показателям можно отнести: количество подтягиваний на пе­рекладине, количество отжиманий из упора лежа, количество человек, участвую­щих в соревнованиях, число попаданий (промахов) при выстреле и т.д. Обычно дискретные показатели выражаются целыми числами.

К непрерывным показателям можно отнести: рост человека, результат в беге на 100м, прыжок в высоту, длину, угол в коленном суставе и т.д. Непрерывные по­казатели могут быть как дробными, так и целыми числами.

Порядковые характеристики - результаты, оцениваемые в баллах или очках. Например, оценки в фигурном катании, спортивной и художественной гимна­стике, занятое место в соревнованиях и т.д. Эти результаты можно расположить в определенном порядке.

Качественные характеристики - результаты, которые не имеют количественной оценки. Например, национальность, цвет волос, форма глаз, спортивная специализация, пол спортсмена и т.д. Эти результаты не могут быть упорядочены.

Обычно полученные наблюдаемые данные представляют собой мно-жество расположенных в беспорядке чисел. Просматривая это множество чисел, зачастую бывает трудно выявить какую-либо закономерность их варьирования (изменения). Для изучения закономерностей варьирования значений случайной величины опытные данные подвергаются обработке. При систематизации выборочных данных используются дискретные и интервальные ряды распределений.

Причём, прежде всего полученные экспериментальные данные ранжируются.

Ранжирование - расположение результатов наблюдений над случайной величиной в порядке возрастания или убывания.

После ранжирования опытные данные объединяются в группы, т. е. группируются. Каждое значение случайной величины, входящее в отдельную группу сгруппированного ряда, называется вариантом, а изменение этого значения – варьированием. Для каждой группы сгруппированного ряда данных можно под­считать численность вариант, т. е. определить число, показывающее, сколько раз встречается соответствующий вариант в ряде наблюдений, это число называется частотой варианта, обозначается n_i. Сумма частот вариант равна объёму вы­борки n. Отношение частоты варианта к объёму выборки называется относительной частотой, или частостью, обозначается р_i^*:

р_i^*=.

Отметим, что сумма относительных частот равна единице

р₁^*+ р₂^*+…+р_i^*=.

Дискретным вариационным рядом распределения называется ранжирован­ная совокупность вариантов х_i с соответствующими им частотами n_i или частостями р_i^*.

Если изучаемая случайная величина является непрерывной, то ранжирование и группировка наблюдаемых значений не позволяют выявить характерные черты варьирования её значений.

Нецелесообразно также построение дискретного ряда для дискретной случайной величины, число возможных значений которой велико. В этом случае следует построить интервальный вариационный ряд распределения. Для его построения весь интервал варьирования наблюдаемых значений случайной величины разбивается на ряд частичных интервалов и подсчитывается частота по­падания значений величины в каждый частичный интервал.

Интервальным вариационным рядом называется упорядоченная совокупность интервалов варьирования случайной величины с соответствующими частотами или частостями попаданий в каждый из них значений величины.

Для построения интервального вариационного ряда прежде всего результаты эксперимента заносятся в таблицу, состоящую из трёх строк. Первая строка – нумерация показателей, вторая строка – неупорядоченная выборка (экспериментальные данные заносятся в эту строку по мере обследования объектов или явлений), третья строка таблицы представляет собой ранжированную или упорядоченную выборку (экспериментальные данные второй строки таблицы ранжируются).

Вся упорядоченная выборка разбивается на интервалы.

Причём число интервалов определяется либо по таблице рекомендуемого числа интервалов для выборок разного объёма, приведённой ниже, либо рассчитывается по формуле Стерджеса (Sturges, 1926 г.)

Таблица 1

Рекомендуемое число интервалов для выборок разного объёма

Объём выборки n	10-30	30-60	60-100	100-300	300-400
Число интервалов k	4-5	5-6	7	8	9

Затем определяется шаг или ширина интервала по формуле:

,

где - максимальное значение измеряемого показателя в упорядоченной (ран­жированной) выборке;- минимальное значение показателя.

Полученное значение шага обычно округляют в большую сторону до размерно­сти измеряемого показателя.

Нижняя граница первого интервала выбирается чуть меньшей или равной ми­нимальному значению выборки, то есть от до.

После этого заполняется таблица (см. табл. 2.) по результатам выборки, кото­рые распределены в интервалы, т. е. результаты измерений представляются в виде вариационного ряда по образцу, где количество строк зависит от количества ин­тервалов.

Таблица 2

№ интервала	Границы интервала	Срединное значение интервала	Частота ni	Накопленная частота	Частость рi*	Накопленная частость
1	2	3	4	5	6	7

В первый столбец таблицы вписывается номер интервала.

Во второй столбец – границы интервала. Причем верхняя граница первого интервала определяется прибавлением шага интервала к его нижней границе. Этот результат является также и нижней границей для следующего интервала. Макси­мальное число верхней границы последнего интервала должно быть больше или равно максимальному значению показателя в выборке.

В третий столбец вписываются срединные значения интервалов.

Середины интервалов являются средними арифметическими значениями границ интервалов. Причём достаточно определить середину первого интервала, прибавив к ней шаг интервала, получить середину второго интервала и т.д.

Четвёртый столбец – частота (n_i), т. е. количество значений, попавших в задан­ный интервал. Если граничный результат был учтен в интервале, то в последую­щем интервале учитываются значения выше граничного результата.

Пятый столбец – накопленная частота, которая рассчитывается сум­мированием частот предыдущих интервалов. Причем в последней строке этого столбца обязательно должно быть число, равное объему выборки (n).

Шестой столбец – частость (р_i^*), т. е. отношение частоты к объёму выборки.

Седьмой столбец – накопленная частость, получаемая суммированием час­тостей предыдущих интервалов. В последней строке столбца 6 получается еди­ница.

Распределение измерений, представленное в столбцах 2(границы интервалов) и 4(частота) или 2(границы интервалов) и 6(частость), назы­вается вариационным рядом.