Тема 3. Математические модели в форме нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений и методы их решения

3.1. Пример формирования модели

ПРИМЕР 3.1. Моделируемый объект – нелинейная цепь постоянного тока (рис. 3.1). R₂ – нелинейное сопротивление.

По закону Кирхгофа

(3.1)

Нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ) элемента R₂ аппроксимируем выражением:

(3.2)

Сделаем подстановку выражения (3.2) в уравнение (3.1):

(3.3)

или

(3.4)

Соотношение f(i) = 0 представляет собой математическую модель электрической цепи в форме нелинейного алгебраического уравнения относительно тока i. Решение этой модели позволит определить ток i в цепи при заданных значениях U и R₁.

Исследование объектов различной физической природы в установившемся режиме часто приводит к статическим моделям в форме нелинейных алгебраических уравнений.

Алгебраическое уравнение может содержать только алгебраические функции, в которых над переменной x производятся арифметические операции, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня.

К рациональным числам относят:

• целые числа,

• числа, которые можно представить в виде конечной десятичной дроби

Например

• числа, которые можно представить в виде периодической бесконечной десятичной дроби

Например

Примеры алгебраических уравнений:

(3.5)

(3.6)

В некоторых задачах моделирование приводит к трансцендентному уравнению.

Трансцендентным называется уравнение, в состав которого входят трансцендентные функции: показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, возведение в иррациональную степень. Например:

(3.7)

(3.8)

3.2. Базовые понятия

Уравнение с одним неизвестным x в общем случае имеет вид:

z(x) = g(x), (3.9)

где z(x) и g(x)  функции, определенные на некотором числовом множестве X, называемом областью допустимых значений уравнения.

Другая форма записи уравнения с одним неизвестным имеет вид:

f(x) = 0, (3.10)

где f(x) = z(x) – g(x) получается в результате переноса функции g(x) в левую часть уравнения (3.9).

Всякое значение x^*, которое при подстановке в уравнение (3.10) обращает его в числовое равенство, а функцию f(x)  в ноль, т. е. такое, что

(3.11)

называется корнем уравнения, или нулем функции f(x).

Решить уравнение – значит, найти все его корни (решения) или доказать, что уравнение не имеет корней.

Для алгебраических уравнений число корней известно заранее. Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел n корней с учетом кратности.