- •Тема 4. Математические модели в форме обыкновенных дифференциальных уравнений и методы их решения
- •4.1. Базовые понятия
- •4.2. Решение математических моделей в классе обыкновенных дифференциальных уравнений
- •4.3. Методы решения математических моделей в классе оду
- •4.3.1. Численные методы
- •4.3.2. Метод Рунге-Кутта
- •4.4. Численное решение оду в среде MathCad
- •Информация к решению
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
- •Фрагмент рабочего документа MathCad
4.3.1. Численные методы
Численные методы позволяют получить искомое решение y(t) дифференциального уравнения (4.23) в форме таблицы его приближенных значений для заданной последовательности значений аргумента .
Непрерывный отрезок , на котором требуется получить решение дифференциального уравнения, заменяют конечной последовательностью дискретных точек (узловых точек).
Величина называется шагом интегрирования.
Численные методы делятся на два класса: одношаговые и многошаговые.
Одношаговые методы действуют по принципу:
(4.32)
т. е. для расчета следующего значения решения достаточно знать только текущее значение(методы Эйлера, Рунге-Кутта).
Многошаговые методы используют такую процедуру:
(4.33)
К ним относятся методы Адамса, Милна.
В основе одношаговых методов лежит следующая идея: искомое решение дифференциального уравнения в окрестности текущей точкиможно представить в видеряда Тейлора.
Учитывая, что , получим:
(4.34)
Производится усечение ряда Тейлора. Количество оставшихся членов ряда определяет порядок численного метода и, соответственно, его точность. При этом операция вычисления производных заменяется последовательностью простейших операций над значениями функцииf(t,y) в нескольких точках интервала .
4.3.2. Метод Рунге-Кутта
Пусть на отрезке требуется найти численное решение диффе-ренциального уравнения
(4.35)
при начальных условиях .
Разбиваем отрезок наравных частей точками
, (4.36)
где i = 0,1,2,3, … n; − шаг интегрирования.
Тогда каждое последующее значение искомого решения y будет определяться так:
, (4.37)
где
(4.38)
здесь
(4.39)
(4.40)
, (4.41)
. (4.42)
Это метод Рунге-Кутта 4-го порядка, одношаговый, обладает достаточной точностью, его погрешность − ().
Метод Рунге-Кутта применяется также для решения систем дифференциальных уравнений. В этом случае от скалярной формы записи выражений переходят к векторной: y →Y, f(t,y) → F(t,Y).
Чтобы применить метод Рунге-Кутта к дифференциальному уравнению n -го порядка
y(n) = f(t,y,y′,y″, … ,y(n-1)), (4.43)
следует свести его к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка (в форме Коши).
Для этого вводятся обозначения для производных:
y′=y1; y″=y2; y′′′=y3; y(n-1)=yn-1; y(n)= yn.
Тогда результирующая система дифференциальных уравнений будет иметь вид:
(4.44)
ПРИМЕР 4.6. Преобразуем дифференциальное уравнение 3-го порядка
y′′′ = –y +5ty″+ t3 (4.45)
к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка в форме Коши.
Введем обозначения: y′=y1; y″= y2, тогда система дифференциальных уравнений в форме Коши будет иметь вид:
(4.46)
4.4. Численное решение оду в среде MathCad
Решение задачи Коши с помощью встроенной функции rkfixed