ТТ-Бочкарев,Кайдалова
.pdf№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ка АВС: А(3, |
4), |
|
В(–3, |
4), |
ка АВ): |
|
|
|
|
|
|
хd = |
ха хb |
|
|
|
3 3 |
|
0 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
С(0, –2), |
|
СD – |
|
|
его |
|
медиана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Тогда |
координаты |
точки |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yа yb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равны … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yd = |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
D (0, 4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Если |
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
2 и угол |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
между векторами |
|
|
и |
|
|
|
|
ра- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
c |
a |
а |
a |
а |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вен / 3, то скалярное произ- |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ведение |
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
и |
= |
a |
a |
|
b |
|
cos ( |
a |
,b ) = 12 |
+ 1 2 сos ( / 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равно … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + 2 (1 / 2) = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
= |
|
(3, |
2k, 5) |
и |
|
Условие перпендикулярности |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
|
|
|
|
|
= (–3, 1, 2) перпендикуляр- |
|
|
|
|
|
b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
axbx ayby |
azbz 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ны, если k = … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(–3) + 2k + 5 2 = 0 k = –0,5. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие коллинеарности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
a y |
|
|
|
|
|
a |
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а b = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
a |
|
|
(3, |
2 , 5) и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
|
|
by |
|
|
|
|
|
bz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25. |
|
|
|
(–3, |
1, |
) |
|
|
|
|
коллинеарны, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
если = …, = … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение каждой из дробей равно –1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= –0,5; = –5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая свойство скалярного произ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Известно, |
|
что |
|
|
а |
|
= 7, |
b |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ведения |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
b 0 , находим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5, |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
Тогда |
|
значение |
a |
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
(4 |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4( |
|
)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
a |
b |
b |
|
b |
a |
b |
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
скалярного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
(4b |
|
) b равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
b |
|
|
100 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Для векторов |
а |
1, 0, 3 и |
|
Найдем скалярное произведение |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
6, 1, 2 |
|
|
|
|
|
справедливы |
Если |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторы |
|
перпендику- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
утверждения … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лярны, |
если a b 0 |
|
|
угол между век- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1) Векторы |
|
|
|
|
|
и |
|
не пер- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
торами |
|
|
|
тупой, |
|
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
угол |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
острый. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2) Вектор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикуля- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
axbx ayby |
azbz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
рен оси Oу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= |
|
|
|
|
= –6 + 6 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3) Вектор |
|
|
|
|
параллелен оси |
векторы перпендикулярны |
невер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Oх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но утверждение 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4) Вектор |
|
|
|
|
|
|
|
образует тупой |
|
Вектор |
|
|
|
перпендикулярен |
|
|
|
оси, проек- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
11
№ |
|
|
|
|
|
|
|
З А Д А Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
угол с осью Oz. |
|
|
ция на которую равна 0 верно утвер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5) Векторы |
|
|
и |
|
коллине- |
ждение 2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
арны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор параллелен оси, |
если он пер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пендикулярен двум другим осям, т. е. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
две соответствующие проекции равны 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
утверждение 3) неверно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вектор образует тупой угол с той |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
осью, проекция на которую отрицатель- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на утверждение 4) верно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
если |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
а |
b |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
x |
|
|
ay |
|
|
|
a |
z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
3 |
век- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
|
|
|
|
by |
|
|
|
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
торы неколлинеарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, справедливы утверждения 2) и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторное |
|
|
произведение |
a b |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
i |
|
|
j |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
0 |
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
28. |
векторов |
|
а 2, 3, 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
0, 1, 5 равно … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
16i 10 j 2k . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
a y |
|
|
az |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Смешанное |
|
|
произведение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
bx |
|
|
|
|
by |
|
|
bz |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2, 0, 0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|
|
c y |
|
|
cz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
29. |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b (3, 1, 1) |
и |
|
|
|
(2, 3, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
равно … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
4 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ab |
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем параллелепипеда, по- |
|
|
|
Объем параллелепипеда, |
построенного |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
на векторах |
|
|
, |
|
|
и |
|
|
|
|
, определяется по |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
строенного |
на |
векторах |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
30. |
|
|
|
|
|
|
( , 0, 0), |
|
|
|
b |
(3, |
1, 1) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
ay |
|
az |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2, 3, 1) , |
равен 4, |
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
V = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
принимает значения … |
|
|
|
|
|
|
(abc) |
|
, (ab c) |
bx |
|
|
by |
|
bz |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
cy |
|
cz |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|||||||||
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
|
|
4; |
4; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
ab c) = |
|
|
3 |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 3) 4 2 .
Модуль нормированного вектора ра- В евклидовом пространстве вен 1. Тогда
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
R |
|
|
вектор а , |
|
, |
|
яв- |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
31. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ляется нормированным |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
значениях , равных … |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для заданного вектора |
х |
(х1, |
х2 ) со- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответствующий |
|
ему |
|
нормированный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
х |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Нормированным вектором в |
вектор |
|
|
имеет вид |
х0 |
= |
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
, где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
32. |
R |
|
|
для вектора х (3, 4) |
явля- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ется… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х12 х22 |
|
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 42 |
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Норма вектора |
|
|
|
|
|
(х1, х2, х3, |
х4) оп- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Значение х < 0, при котором |
ределяется равенством |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 х2 |
х2 |
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
33. |
норма вектора а (1, 3, х, 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
равна 6, равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 32 х2 ( 1)2 |
= 6 х2 = 25. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда x = –5 (x = 5 не удовлетворяет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
условию х < 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Два вектора в R4 линейно зависимы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда и только тогда, когда координаты |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Векторы |
|
= (х, 10, –4, 12), |
их пропорциональны, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
34. |
|
|
|
= (3, 5, у, 6) линейно зави- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
10 |
|
|
4 |
|
|
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
симы при х = …, у = … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение каждой из дробей равно 2, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда находим x = 6, y = –2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13
№ |
З А Д А Н И Е |
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
Нормальный |
|
вектор |
плоскости |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Нормальный вектор плоско- |
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
имеет координатами коэффициенты при |
|||||||||||||||||||||||||||
35. |
сти |
|
x, y, z в общем уравнении плоскости |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
х + 2у + z – 15 = 0 |
|
|
|
Ах + By + Cz + D = 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
имеет координаты… |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n (A, B,C) |
|
|
n (1, 2, 1) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Из уравнений |
Уравнение плоскости |
Ах + By + Cz + |
|||||||||||||||||||||||||
|
а) 2x – 3y + z + 1 = 0; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
б) x + 2y – 6 = 0; |
D = 0, параллельной оси Oz, имеет ко- |
||||||||||||||||||||||||||
36. |
в) x + 3y = 0 |
|
эффициент |
при |
|
|
|
z |
равный |
0 |
|
|||||||||||||||||
|
выберите те, которые опреде- |
C 0 Ax By D 0 случаи б) и |
||||||||||||||||||||||||||
|
ляют плоскость, параллель- |
в). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ную оси Oz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение |
|
Данная плоскость пересекает все ко- |
|||||||||||||||||||||||||
|
3х + у – 2z – 6 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
37. |
ординатные плоскости (Oxy, Oxz, Oyz), |
|||||||||||||||||||||||||||
определяет плоскость, пересе- |
||||||||||||||||||||||||||||
так как в ее уравнении отличны от нуля |
||||||||||||||||||||||||||||
|
кающую координатные плос- |
все коэффициенты при х, у и z. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
кости … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Какая точка лежит в плоско- |
Координаты точки, лежащей на плос- |
||||||||||||||||||||||||||
|
сти |
|
кости, должны тождественно удовлетво- |
|||||||||||||||||||||||||
|
2х + у – 3z + 4 = 0 |
рять этому уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
38. |
1) 2 0 + 0 – 3 0 + 4 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
из перечисленных? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2) 2 (–2) + 0 – 3 0 + 4 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1) (0, 0, 0); |
2) (–2, 0, 0); |
3) 2 5 + (–1) – 3 7 + 4 0; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3) (5, –1, 7); |
4) (4, –1, 1). |
4) 2 4 + (–1) – 3 1 + 4 0 2). |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 способ. Уравнение прямой у = kx + |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
b. Точки (0, 2) и (–1, 0) принадлежат |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
прямой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение линии на рисунке |
b 2, |
b = 2, k = 2 у = 2х + 2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
имеет вид… |
|
k b 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 способ. Уравнение прямой, прохо- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
||||||||||||||||||||||||||
39. |
|
дящей через две точки (х1, |
|
у1) |
и (х2, |
у2), |
||||||||||||||||||||||
|
2 |
имеет вид |
|
x x1 |
|
|
y y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
–1 |
0 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x 1 |
|
y 0 |
|
y = 2x + 2. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 способ. Уравнение прямой в отрез- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ках имеет вид |
х |
|
y |
1 |
|
х |
|
y |
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
b |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
14
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x + 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 способ. Прямая проходит через на- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
чало координат, следовательно, ее урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
нение имеет вид у = kx, откуда k = у / х. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Так как точка В принадлежит прямой, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Прямая проходит через точ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k = –1 / 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 способ. Составим каноническое |
|||||||||||||||||||||||||||||||
40. |
ки О(0, 0) и В(–2, 1). Тогда ее |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
угловой коэффициент равен… |
уравнение прямой, проходящей через |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
точки О(х1, у1) и В(x2, y2): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
х х1 |
|
|
у у1 |
|
|
|
|
х 0 |
|
|
у 0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
х2 х1 |
|
|
у2 у1 |
|
|
|
2 0 |
|
1 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = –х / 2 k = –1 / 2. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 способ. |
По условиям задачи |
А 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В 0, С 0. Прямая проходит через точ- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
График прямой линии, за- |
ки (0, |
1) |
и |
(1, 0) |
|
|
|
В С 0, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
данной уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
С 0 |
|||||||
|
Ах + Ву + С = 0, |
В А= – С справедливы утвер- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
ждения 1) и 3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
имеет вид… |
|
|
2 способ. Преобразуем общее уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
ние прямой |
Ах + Ву + С = 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
41. |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
к виду |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
1. Введем обо- |
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
C / A |
C / B |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
1 х |
значения a |
C |
, b |
C |
|
|
|
x |
|
y |
1 |
||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Правильными |
утверждениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|||||||||
|
– уравнение прямой в отрезках. В дан- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
являются… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
||
|
|
|
ном случае а = 1 и b = 1 |
1, |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1) АВ > 0; |
2) BC > 0; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||
|
3) BC < 0; |
4) AB < 0. |
|
C |
1 |
|
A = B = –C АВ > 0; BC < 0, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
т. е. справедливы утверждения 1) и 3). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Расстояние от точки М(1, 2) |
|
Расстояние от точки М(х0, у0) до пря- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
до прямой |
|
мой Ах + Ву + С = 0 определяется по |
||||||||||||||||||||||||||||||
42. |
4у = 3х + 10 |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax0 By0 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
равно… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 B2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
№ |
З А Д А Н И Е |
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
3 1 ( 4) 2 10 |
|
|
5 |
1 (ед.). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
( 4) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Треугольник |
с |
вершинами |
|
|
|
|
|
|
Из условия |
равенства |
длин |
|
|
сторон |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
A(0, 1), B(2, –3), C(4, k) и ос- |
треугольника |
AB |
|
|
|
AC |
|
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
43. |
нованием BC является равно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
бедренным при |
|
k < |
0 рав- |
|
|
|
|
|
|
|
(2 0)2 (3 1)2 |
|
42 |
|
(1 k)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ном… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 = (1 – k)2 k1 = 3, |
|
k2 = –1 k = –1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Уравнением прямой, парал- |
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности двух прямых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
лельной у = 2х –1, является … |
|
|
|
А1х + В1у + С1 = 0 и А2х + В2у + С2 = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
44. |
1) 2х + у + 1 = 0; |
|
|
имеет |
|
|
вид |
|
|
|
A1 |
|
|
B1 |
|
, |
0 R |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) х – у – 2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) х + у – 1 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
4) 2х – у + 3 = 0. |
|
|
данной прямой параллельна прямая 4). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой перепишем в кано- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Даны уравнения плоскостей |
ническом виде |
х 3 |
|
у 1 |
|
z |
|
|
на- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
1) – 3х + 5у – z – 2 = 0; |
правляющий |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор |
|
|
|
|
|
|
прямой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) |
– у – 3z + 5 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
(2, 3, 1) . |
Нормальные векторы для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
s |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) |
– х – 3z – 2 = 0; |
|
каждой из плоскостей равны соответст- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
45. |
4) |
– 5х + 3у – z – 3 = 0. |
венно |
|
n1 ( 3, 5, 1) , |
|
2 (0, 1, 3) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 ( 1, 0, 3) , |
|
4 ( 5, 3, 1) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Прямая x = 3 + 2t, |
|
n |
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности данной пря- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y = –1 + 3t; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
мой и |
|
плоскости |
|
состоит |
в равенстве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z = – t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
параллельна плоскости… |
нулю скалярного произведения |
n |
|
s |
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это равенство выполняется только для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскостей 2), 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Образ вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
в ба- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y Ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
46. |
зисе |
линейного |
оператора, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
заданного |
|
матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
12 |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, имеет вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
47. |
Если |
линейный |
оператор в |
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
базисе |
|
|
|
|
|
( |
е1, |
е |
2 ) |
|
|
вектор |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
е1 0 |
|
|
2 . Тогда образ у = Ах имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
базисе ( |
е1, |
е |
2 ) задан матрицей |
|
|
х |
е |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
1 |
, то образ у = Ах |
|
|
|
|
Aх |
|
2 1 |
1 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 |
0 |
|
3 |
|
||||||
|
вектора |
х |
|
е1 имеет вид … |
|
|
|
|
|
|
|
|
у = (2, 3). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дополним уравнение до полного квад- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2x2 + 2y2 + x = 0 |
|
рата 2(x2 + x / 2 + 1 / 16) + 2y2 = 1 / 8 |
||||||||||||||||||||||||||||
48. |
|
|
|
2(x + 1 / 4)2 + 2y2 = 1 / 8 (x + 1 / 4)2 + |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
определяет на плоскости… |
|
y2 = 1 / 16 |
окружность с центром |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
О(–1 / 4; 0) и радиусом R = 1 / 4. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение окружности с центром в |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке (х0, у0) и радиусом R имеет вид |
||||||||||||||||
|
Если С(1, 1) – центр окруж- |
|
|
|
|
(х – х0)2 + (у – у0)2 = R2 |
|||||||||||||||||||||||||||
49. |
ности, |
которая проходит через |
|
|
|
|
|
(х – 1)2 + (у – 1)2 = R2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
точку А(5, 4), то уравнение |
Точка А(5, 4) принадлежит окружно- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
этой окружности имеет вид … |
сти, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 – 1)2 + (4 – 1)2 = R2 R = 5. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, (х – 1)2 + (у – 1)2 = 25. |
||||||||||||||||
|
Кривизна окружности, за- |
Для окружности радиуса R кривизна |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
равна k 1/ R . Для нахождения радиуса |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
данной уравнением |
|
|
|
окружности |
|
дополним |
|
уравнение до |
||||||||||||||||||||||||
50. |
х2 – 2х + у2 + 2у – 7 = 0, |
|
полного квадрата |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
(x |
2 |
2x |
1) (y |
2 |
2y 1) 9 , |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)2 |
(y 1)2 9 |
|
О(1; –1), R = 3. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда k = 1 / 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если |
уравнение гиперболы |
|
x2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a 0, b 0) – канониче- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
51. |
|
|
|
x |
|
|
y |
|
1 , |
|
|
|
|
a2 |
b2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ское уравнение гиперболы, где а – дей- |
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
ствительная полуось, b – мнимая полу- |
|||||||||||||||||||||||
|
то длина ее действительной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ось а = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
полуоси равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Уравнение |
|
z |
|
x2 |
y2 |
оп- |
Уравнение |
|
гиперболического парабо- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
||||||||||||||
52. |
|
|
2 р |
2q |
лоида имеет вид z |
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
ределяет |
|
|
|
гиперболический |
a2 |
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
параболоид, если… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2р > 0, 2q < 0. |
|
|||||||||||||||||||
53. |
Геометрический образ урав- |
Приведем |
|
канонические |
уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||
нения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основных поверхностей второго порядка |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17
№ |
З А Д А Н И Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x2 |
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
– |
|
|
|
|
эллипсоид, |
||||||||||||||||
|
5 |
|
|
3 |
|
a2 |
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
есть… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
– однополостный ги- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
c2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перболоид, |
|
|
x2 |
|
y |
2 |
|
|
z2 |
|
1 – двуполо- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стный гиперболоид, |
|
z |
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
– эл- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
липтический параболоид, |
|
z |
|
x |
2 |
|
|
y2 |
– |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гиперболический |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параболоид, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
y2 |
1 – эллиптический цилиндр, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
1 – гиперболический цилиндр, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 2 px |
|
– |
|
параболический |
|
|
цилиндр, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
|
z |
2 |
|
0 – |
|
конус |
|
|
в |
|
данном |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
случае конус, а2 = 5, b2 = 6, c2 = 3. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если все |
i 0 , |
|
где i |
|
– собственные |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значения матрицы A квадратичной фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы, то квадратичная форма называется |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
положительно определенной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Квадратичная форма |
|
|
Составим матрицу квадратичной фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мы A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. По критерию Силь- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
х |
2 6х х |
2 |
5х |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
54. |
1 |
|
1 |
|
|
2 |
вестра для положительно определенной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратичной формы |
|
главные |
миноры |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
является |
положительно опре- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
деленной при равном … |
матрицы |
1 , |
2 |
|
|
|
|
|
|
должны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) –5; |
2) 0; |
3) 1; |
4) 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворять условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0, |
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18
№ |
З А Д А Н И Е |
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
> 9 / 5. Таким образом, в версиях отве- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
тов верно только 4). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим матрицу квадратичной фор- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
мы A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Квадратичная форма |
|
5 |
. По критерию Силь- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
х2 |
4х х |
|
5х |
2 |
вестра в случае отрицательно опреде- |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
ленной формы главные миноры матрицы |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
55. |
является отрицательно опре- |
1 , |
2 |
должны |
|
удовле- |
||||||||||||||||||||||||
2 |
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
деленной при равном … |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
творять условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1) 3; |
|
|
|
2) 5; |
|
1 |
0, |
0, |
< –4 / 5. |
||||||||||||||||||||
|
3) –2; |
|
4) –0,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
0 |
5 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В версиях ответа этому условию удов- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
летворяет только = –2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
На плоскости введены пря- |
Формулы, выражающие декартовы ко- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
моугольная и полярная систе- |
ординаты точки через полярные, имеют |
||||||||||||||||||||||||||||
|
мы координат, причем поло- |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
56. |
жительная |
полуось |
абсцисс |
|
|
|
|
|
|
x r cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
совпадает |
с полярной осью. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Если (r, ) – полярные коор- |
|
|
|
|
|
|
y r sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
динаты точки М, то абсцисса |
Поэтому х = r cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
этой точки равна… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полярная и декартова системы коор- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
динат связаны соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х2 у2 , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x r cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y r sin , |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Полярные координаты точки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
57. |
М(–1, |
|
) имеют вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
r 0, 0 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
В условиях задания имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
( 1)2 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3)2 2 , cos = –0,5; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin = |
|
3 / 2 = 2 / 3 |
|
|
2, |
|
|
|
|
– |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
полярные координаты точки (–1, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
). |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
№ |
З А Д А Н И Е |
|
Р Е Ш Е Н И Е |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнение линии |
(r 2 cos 2 r 2 sin 2 )3 |
3r cos |
||||||||||||||||
|
(х |
2 |
2 |
3 |
= 3х |
||||||||||||||
|
|
+ у ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58. |
в полярных |
|
|
координатах |
|
r6 (cos 2 sin2 |
)3 |
3r cos |
|||||||||||
|
( x r cos , |
y r sin ) имеет |
|
|
r 6 3r cos r 5 |
3cos . |
|||||||||||||
|
вид… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разностью множеств A и B называ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ется множество, состоящее из всех тех |
||||||||||||
|
А и В – множества действи- |
элементов |
множества |
A , которые не |
|||||||||||||||
|
тельных чисел: |
|
А 2, 5 , |
принадлежат множеству B . |
|
|
|||||||||||||
59. |
В 0, 8 . |
|
Тогда |
множество |
|
|
|
А |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
А \ В равно… |
|
|
|
|
|
–2 |
0 |
|
5 |
|
8 |
|
х |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А \ В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А \ В = 2, |
0 . |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Декарто- |
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
вым |
произве- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
дением |
мно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
жеств |
А и |
В А |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
называется |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
множество |
|
0 |
|
|
|
|
B |
|
|
|||
|
Даны множества |
всех |
|
упоря- |
1 |
|
2 |
|
3 x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
доченных пар |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A = {b, y} и B = {1, 2, 3}. |
элементов |
(x, y) , |
в которых |
x A , |
||||||||||||||
60. |
Тогда декартовым (прямым) |
y B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если А и В – числовые множества, то |
||||||||||||||||||
|
произведением A B являет- |
элементами |
декартова |
|
|
произведения |
|||||||||||||
|
ся… |
|
|
|
|
|
этих |
множеств |
будут |
упорядоченные |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
пары чисел. Изображение каждой пары |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
чисел на плоскости позволяет получить |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
фигуру на этой плоскости. Таким обра- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
зом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B = {(b, 1), (b, 2), (b,3), (y, 1), (y, 2), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(y, 3)}. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Пересечение множеств |
Пересечением множеств А и В называ- |
|||||||||||||||||
|
А = {1, 3, 5, 10} |
ется множество, образованное из всех |
|||||||||||||||||
61. |
|
|
и |
|
|
|
тех элементов, которые принадлежат и |
||||||||||||
|
В = {3, 5, 7} |
множеству А, и множеству В A B = |
|||||||||||||||||
|
равно… |
|
|
|
|
|
{3, 5}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20