2125 (Линейная алгебра)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Найдем обратную матрицу по формуле A 1

- согласно предыдущему способу. Составим A , для этого

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

953.65 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>



17.	A




19.	A




21. A




23.	A




25.	A

27. A

29. A

2 3 3

1 2 4

1 2 3

3 2 2

1 42

11 1

3 5 6

2 32

2 3 1

	1
	2
	2		;

	4
	4
	2

	2 ;


	4
	1
	3
	3	;

	2
	3
	4
	4		;

	5
	5

1

4	;

3
3

5 ;

5 ;7

		3	1			6
		2
18.	A	2	1			1		;
		2	1			4
		2	1			4

		1	1	1
				4
20.	A	2	3	4		;
		3	2	2
		3	2	2
		2	1		3

22. A		1	2		1			;
		3	1		2
		3	1		2

		1	4		1
			1
24.	A	2	1		1		;
		1	1		2
		1	1		2

		2	1		3

26.	A	3	4		5 ;
		2	2		7
		2	2		7
	1		1				4
			1			6
28. A		2	1			6			;
		3	2				2
		3	2				2
		3	1		2
			5
30.	A	2	5		3 .
		1	4		1
		1	4		1

III. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Теорема Кронекера-Капелли

Для того, чтобы система

m линейных алгебраических уравнений относительно

неизвестных

x1 ;

x2 ; … xn

a11x1 a12 x2 ...

a1n xn b1

a22 x2

a2n xn

a21x1

............................................

(1)

x a

...

была совместной (имела хотя бы одно решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы (1)

a		a	...	a
	11	12		1n

a21		a22	...	a2n
A
	...	... ... ...
	...	... ... ...

		am2	...
am1		am2	...	amn

и ранг так называемой расширенной матрицы системы (1)

a		a		...	a		b
	11		12			1n	1
a21		a22		...	a2n		b2
A B
		...		... ...
...		...		... ...			...
a	m1	a	m2	...	a	mn	b
	m1		m2			mn	m

были равны, т.е. rangA rang A B r .

Далее, если rangA rang A B и r n (числу неизвестных), то система (1) имеет

единственное решение, т.е. определена. Если r n , то система (1) имеет бесконечное множество решений, зависящее от n r произвольных параметров, т.е. неопределена.

Система называется однородной, если все её свободные члены bi i 1;m равны нулю. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то система называется

неоднородной.

Для однородной системы уравнений	rangA rang A B	, поэтому она всегда
Для однородной системы уравнений		, поэтому она всегда
совместна.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

1. Метод Крамера (Формулы Крамера).

Если определитель системы не равен 0, то система совместна и определена, имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

x
		1
1

;

; …

Здесь

1

определитель системы, состоит из коэффициентов при неизвестных;2 , 3 , ... - определители для неизвестных, составляются из определителя

системы путем замены соответствующего столбца на столбец свободных членов, что будет показано позднее в примере.

Так как необходимо вычислять определители, то метод желательно применять для систем, состоящих из двух или трех уравнений.

2.Метод обратных матриц (матричный метод).

Этот метод также желательно применять для системы, состоящей из трех

a22 x2

a23x3

b2 .

уравнений с тремя неизвестными. Т.е. a21x1

Запишем систему в матричном виде:

A X B ,

где A a21

a22

a23

- основная матрица системы,

состоит из коэффициентов при

a32

a31

a33

неизвестных;

X x2 - матрица-столбец для неизвестных;

B b2 -матрица-столбец свободных членов.

Выведем формулу решения:

A 1 A X A 1 B

E X A 1 B

X A 1 B - решение системы в матричном виде.

3. Метод Гаусса.

Этот метод широко применяется для решений систем любого порядка. Заключается он в том, что из системы выписывается расширенная матрица и с помощью элементарных преобразований матрица приводится к треугольному виду, т.е. последовательно исключаются неизвестные путем обнуления коэффициентов при них (если система имеет единственное решение).

Если же система совместна и неопределена, то появятся так называемые зависимые и независимые переменные. Общим решением таких систем является зависимость одних переменных от других. Чтобы найти базисное решение, нужно все независимые переменные приравнять к 0. Частным называется любое решение при определенных значениях независимых переменных.

4.Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса.

Этот метод также рассмотрим в дальнейшем на примере.

Пример 3.1. Дана система 3-го порядка. Решить систему: а) Методом Крамера (по формулам Крамера); б) С помощью обратной матрицы (матричным методом).

1).

		4x			x	13
7x				2
	1				3
		2x			3x		3
3x			2
	1				3
		3x			x	10
2x			2
	1				3

а) Решаем по формулам Крамера. Найдем:

7	4	1 7		4
3	2	3	3	2	14 24 9 4 63 12 102 0 ,
2	3	1	2	3

значит система имеет единственное решение, которое найдем по формулам Крамера:

x
		1
1

;

x	2	;	x	3	.


2			3

Составим определители для неизвестных и найдем их:

13	4	1				3	1	0	3	1 0 ;

3	2	3			33		11	0 1 A

1				3				33	33	11
10	3 1		1			10	3 1

							34

	7	13	1					9	3	0	3	3
	7	13	1					9	3	0
	3	3	3				3		33	0 1 A			9	33	9	9 34 306;
2	3	3	3				3		33	0 1 A			9	33	9	9 34 306;
2										33	3	33
	2	10	1		1	3		2	10	1	3	33
	2	10	1		1	3		2	10	1
	7	4	13	7		4

3 3	2
2	3
	x
	1

10 2

102

;

140 24 117 52

x		306	3
x	2	102	3
	2

;

120 102

x		102

3		102

Проверка. Подставим найденные значения в исходную систему:

7 0		4 3 1 13

	0	2 3 3 1 3
3	0	2 3 3 1 3

2 0 3 3 1 10

		13
13		13
	3
3	3

			10
10			10

б) Решим систему матричным методом.

Решением будет

A 1


	7	4	1

A	3	2	3
	2	3	1
	2	3	1

дополнения:

найдем алгебраические

A 2		3 11;	A 4			1 1;
11	3	1	21		3	1
	3	1			3	1
A 3		3 3;	A 7		1 9 ;
12	2	1	22	2	1
	2	1		2	1
A 3		2 13;	A 7			4 29 ;
13	2	3	23		2 3
	2	3			2 3
					11	1	14
			~
			A		3	9	24
					13	29	2
					13	29	2

A		4
A
31		2
		2
A			7
A
32			3
			3
A	7
33		3
		3

1			14		;
3			14		;
3
	1			24
		3		24
		3
4		2 .
2

;

	x			11	1	14			13			11 13 1 3 14 10
	1
	1		1							1				24
			1							1		3 13 9	3
x2		102		3	9		24		3	102		3 13 9	3		10
x		102		13 29			2	10		102		13 13	29	3 2 10
x				13 29			2	10				13 13	29	3 2 10
	3
			143 3 140						0		0
	1		39 27 240				1
	102		39 27 240				102		306		3
	102		169 87		20		102		102
			169 87		20				102		1

Ответ: x1

2).

0 ; x2 3; x3 1.

		9x			5x		1
4x			2
	1				3
		4x			x	11
7x				2
	1				3
		5x			4x		5
3x			2
	1				3

Найдем определитель системы:

4	9	5			31	11	0		31	11

7	4	1	4	5	7	4	1 1 A	1			0

		4				11	23		31	11

3	5				31		0

Так как система неоднородная и 0

, то система несовместна (не имеет решения).

	x		7x	2	3x		0
		1		2		3

	3). 3x1 5x2 x3 0
						2x 0
	3x 4x				2	2x 0
			1		2		3
Найдем определитель системы:
1	7		3
3	5		1 10 21 36 45 4 42 12 0
3	4		2

Определители для неизвестных 1 2 3 0 , так как имеют нулевой столбик. Значит система совместна и определена, имеет единственное нулевое решение:

x	x	2	x	0
1		2	3

2x1 2x2 x3 0 4). 5x1 4x2 6x3 0

3x1 2x2 5x3 0

Найдем определитель системы:

2	2	1 2		2
5	4	6 5		4 40 36 10 12 24 50 0
3	2	5 3		2
Система совместна и неопределена, так как она однородная. Запишем систему в
виде:
	2x	2x		x	0
	1		2	3
	1		2	3			- уберем второе уравнение (убирать можно любое).
		2x		5x		0	- уберем второе уравнение (убирать можно любое).
3x		2x	2	5x		0
	1		2	3
Далее запишем:
	2x	2x	2	x
	1		2	3
		2x		5x
3x		2x	2	5x
	1		2		3

Решим методом Крамера:

4 6 2 0

	x	2					2	x
	3		2x	10x	8x			3	10x	3x	7x
			2x	10x	8x	2			10x	3x	7x
1	5x	2	3	3	3	2	3	5x	3	3	3
	5x	2					3	5x
	3							3

	x		8	x	4x
			2
	1			3	3

Итак			7		- общее решение,
x				x
		2
			2	3

где x1 и x2 - зависимые переменные;

x3 - независимая переменная.
Найдем частное решение. Т.е. положим					x3 2 .
	x		8
Получим:	1			.
Получим:	x		7	.
	x	2	7
		2
Сделаем проверку:
2 8 2 7 2 0					0 0
5 8 4 7 12 0					0 0	- верно.

3 8 2 7 5 2 0					0 0

					37

Задание 3.1. Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) Методом Крамера (по формулам Крамера); б) С помощью обратных матриц.

Сделать проверку.

№1.

	x		2x		2	4x	0
		1				3
				x2		3x3 1;
1.	3x1
				x		5x	3
	2x				2
			1			3

	x			x			2	2x				1
		1					2				3

3.	2x1 3x2 x3 0														;
		x		2x					x			7
		x		2x				2	x			7
		1						2			3
					3x					3x				0
	2x				3x				2	3x				0
			1						2			3
				x2 2x3 7
5.	x1			x2 2x3 7											;
		x		2x					3x				3
		x		2x				2	3x				3
		1						2			3
	x			5x				2	x			1
		1						2			3
									2x3 7
7.	2x1 x2								2x3 7						;
		x		4x					x			0
		x		4x				2	x			0
		1						2			3
	2x				x				3x				1
			1					2			3
			1					2			3
				2x2					x3 8
9.	x1			2x2					x3 8							;
					3x					2x				1
	4x				3x				2	2x				1
			1						2			3
		5x				2x					x			1
					1					2		3
					1					2		3
						x2				2x3				6
11. 2x1						x2				2x3				6		;
			x		3x					x			5
			x		3x					x			5
			1					2			3
	4x1 3x2 2x3 1
										x3 3
13. 3x1 x2										x3 3						;
	x				2x				2	3x				8
			1						2			3

			3x	6x	3
	2x		3x	6x	3
		1	2	3
		x2 2x3 4
2.	x1	x2 2x3 4				;
			2x	6x	0
	3x		2x	6x	0
		1	2	3

	3x			2x				x			3
			1			2			3
			1			2			3
			x2 2x3 4 ;
4.	x1		x2 2x3 4 ;
				2x				x			3
	2x			2x			2	x			3
			1				2		3
				2x				3x				3
	2x			2x			2	3x				3
			1				2			3
			x2 2x3 1
6.	x1		x2 2x3 1										;
				x			4x				2
	2x			x	2		4x				2
			1		2				3
				2x				2x				3
	3x			2x		2		2x				3
			1			2				3
				x2 x3 5
8.	2x1			x2 x3 5									;
				x			3x				4
	5x			x	2		3x				4
			1		2				3
	2x 3x								x			2
				1				2		3
				1				2		3
				2x2				3x3				0
10. x1				2x2				3x3				0	;
		x		x			2x				6
		x		x	2		2x				6
			1		2				3
	x			3x		2		x			1
			1			2			3
12. 2x1 x2								x3 7 ;
	2x x					2		3x				5
				1		2				3
	3x1 x2 2x3 1
				2x2				3x3				5
14. x1				2x2				3x3				5	;
	2x 3x							2	x 4
				1				2		3

	2x			3x			x				2
			1			2			3
			1			2			3
			x2 3x3							4 ;
15.	x1		x2 3x3							4 ;
				5x			x				4
	3x			5x		2	x				4
			1			2			3
	x		3x		2	x				2
		1			2				3
17.	2x1 x2					3x3					3 ;
	2x			x	2	2x					8
			1		2				3
				3x			5x					1
	2x			3x		2	5x					1
			1			2				3
				x2		2x3					4
19.	3x1			x2		2x3					4		;
		x	2x			x				5
		x	2x		2	x				5
		1			2				3
				4x			2x					11
	3x			4x		2	2x					11
			1			2				3
				x2		x3				4
21.	2x1			x2		x3				4			;
				2x			4x					11
	3x			2x		2	4x					11
			1			2				3
				3x			x				12
	2x			3x		2	x				12
			1			2			3
				x2		3x3					16 ;
23.	2x1			x2		3x3					16 ;
				2x			x				8
	3x			2x		2	x				8
			1			2			3
	3x 5x								6x 8
				1				2				3
				1				2				3
				x2		x3				4
25.	3x1			x2		x3				4			;
		x	4x			2x					9
		x	4x		2	2x					9
		1			2				3
				2x			4x					21
	3x			2x		2	4x					21
			1			2				3
				4x2			2x3 9
27.	3x1			4x2			2x3 9						;
				x		x				10
	2x			x	2	x				10
			1		2				3
	2x1 x2 3x3 4
			3x2			x3				11
29. x1			3x2			x3				11			;
	x 2x				2	2x 7
		1			2					3

	2x			x			3x		3
			1		2			3
			1		2			3
			2x2				x3 2
16.	x1		2x2				x3 2				;
		x	3x				4x		1
		x	3x				4x		1
		1		2				3
	x		2x		2		x 4
		1			2			3
18.	2x1 x2						3x3		5		;
	3x 4x						2	x 2
			1				2	3
	x		5x		2		6x		15
		1			2			3
				x2			4x3		13
20.	3x1			x2			4x3		13			;
				3x				x	9
	2x			3x		2		x	9
			1			2		3
	x		2x		2		3x		14
		1			2			3
				3x2				4x3		16
22.	2x1			3x2				4x3		16			;
				2x				5x		8
	3x			2x		2		5x		8
			1			2		3
				x			x 11
	3x			x			x 11
			1	2				3
				x2			2x3		8
24.	5x1			x2			2x3		8		;
		x	2x				4x		16
		x	2x		2		4x		16
		1			2			3
				2x				5x		5
	3x			2x		2		5x		5
			1			2		3
				3x2				4x3		12
26.	2x1			3x2				4x3		12		;
		x	2x				3x		1
		x	2x		2		3x		1
		1			2			3
	4x			x			3x		9
			1		2			3
			1		2			3
			x2 x3 2
28.	x1		x2 x3 2									;
				3x				6x		12
	8x			3x		2		6x		12
			1			2		3
	2x1 x2 3x3 7
				3x2				x3	1 .
30. 2x1				3x2				x3	1 .
	3x			2x			2	x	6
			1				2	3

№2.

			2x			4x 8
	3x				2
		1				3
			4x2			5x3 11;
1.	2x1
		x 2x			x 1
				2
		1				3

	x				x			2	x 1
			1					2			3
					x2 2x3 5 ;
3.	x1				x2 2x3 5 ;
										3x			2
		2x								3x			2
					1						3
		2x				3x					x			2
					1				2			3
					1				2			3
						x2 3x3 1
5.	3x1					x2 3x3 1										;
						2x					2x				4
		5x				2x				2	2x				4
					1					2			3
						8x					7x				0
		2x				8x				2	7x				0
					1					2			3
						5x2 6x3 1
7.	2x1					5x2 6x3 1										;
						3x					x			7
		4x				3x				2	x			7
					1					2		3
	x				2x				2	3x				6
			1						2			3
						3x2 4x3 2
9.	2x1					3x2 4x3 2										;
						x				x		5
		3x				x			2	x		5
					1				2		3
				4x			x				3x				1
						1				2			3
							x2				x3			2 ;
11.			3x1				x2				x3			2 ;
				x						2x			5
				x						2x		3	5
					1							3
		x				2x				2	3x				3
					1					2			3
						3x2					5x3 0
13.		x1				3x2					5x3 0					;
							x				8x				4
			2x				x			2	8x				4
						1				2			3
		3x1 x2 3x3 6
							3x2 5x3 4 ;
15. 5x1							3x2 5x3 4 ;

			2x 5x 2x 0
							1				2				3

					x				4x				15
		2x			x		2		4x				15
				1			2					3
					x2 x3 8
2.	3x1				x2 x3 8												;
					2x						5x				0
		5x			2x				2		5x				0
				1					2			3
					3x						2x				2
		3x			3x			2			2x				2
				1				2				3
					5x2 2x3 1
4.	4x1				5x2 2x3 1												;
			x	2x										5
			x	2x			2							5
			1				2
					3x						2x				5
		2x			3x			2			2x				5
				1				2				3
					4x2 7x3 2
6.	3x1				4x2 7x3 2												;
					x				5x				9
		5x			x		2		5x				9
				1			2					3
		5x			x				2x				1
				1			2					3
				1			2					3
					4x2 x3 7
8.	3x1				4x2 x3 7												;
					3x						3x				4
		2x			3x				2		3x				4
				1					2			3
						5x						3x				4
			3x			5x				2		3x				4
					1					2			3
					2x2						x3		8
10.		x1			2x2						x3		8					;
						7x						2x				1
			2x			7x					2	2x				1
					1						2			3
		x			4x				2		2x				0
				1					2			3
						5x2						6x3 2
12.		3x1				5x2						6x3 2						;
						9x						8x				1
			4x			9x					2	8x				1
					1						2			3
		2x1 x2 x3 2
											3x3				4 ;
14. 5x1 x2											3x3				4 ;
		7x 2x									2	4x 1
					1						2				3
		5x1 6x2 2x3 2
						3x2						x3			9
16. 2x1						3x2						x3			9			;
		3x				3x				2		x		1
					1					2		3

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.12.2018325.63 Кб202079.doc
#
23.11.2018293.89 Кб232094.doc
#
24.11.20191.21 Mб242100.doc
#
09.04.2015221.74 Кб290210803_Otvety_na_bilety_Grazhdanskoe_pravo.docx
#
01.09.20198.01 Mб242109.doc
#
09.04.2015953.65 Кб852125 (Линейная алгебра).pdf
#
09.04.20151.65 Mб342125.doc
#
30.07.2019148.83 Кб1321420.rtf
#
09.04.20151.7 Mб872145.doc
#
19.11.20191.88 Mб132170 (1).doc
#
09.04.20151.71 Mб1682170.doc