Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский Государственный Университет Путей Сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3114

.pdf

Скачиваний:

368

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

794.15 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

13.Вероятность выигрыша в лотерею 0,05. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – количества выигрышных из трёх лотерейных билетов.

14.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Составить закон распределения СВ Х-выигрыша 1-го из 3-х проведённых партий. Найти математическое ожидание и дисперсию.

15.Из урны, содержащей 4 белых и 6 чёрных шаров, случайным образом извлекаются три шара. Случайная величина Х – число чёрных шаров в выборке. Составить закон распределения, найти математическое ожидание и дисперсию.

16.Вероятность опоздания поезда на станцию 0,1. Составить закон распределения СВ Х – числа опоздавших поездов из 3-х. Найти математическое ожидание и дисперсию.

17.Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого 0,8; для второго 0,9. Случайная величина Х число попаданий. Составить закон распределения СВ, найти математическое ожидание и дисперсию.

18.Вероятность выплаты договоров страховой компанией составляет 0,09 (в связи с наступлением страхового случая). Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных 3-х. Вычислить математическое ожидание и дисперсию.

19.В контрольной работе 3 задачи. Вероятность правильного решения первой 0,9, второй и третьей 0,8. Составить закон распределения числа правильно решённых задач и вычислить математическое ожидание и дисперсию.

20.Менеджер торгового зала наблюдает за работой трёх продавцов. Вероятность, что его помощь потребуется для 1-го составляет 0,3, для второго 0,4, для третьего 0,2. Составить закон распределения числа продавцов, которым потребуется помощь. Найти математическое ожидание и дисперсию.

21.Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью p появления события А в каждом отдельном испытании. Найти вероятность p появления события А в одном испытании, если дисперсия числа появлений события А, в трех независимых испытаниях равна 0,63 и Р(А) > 0,5.

22.Случайная величина X может принимать три частных значения 0, 1 и

2.Определить вероятность получения этих значений, если математическое ожидание случайной величины X равно 0,9, а дисперсия 0,69.

23.Случайная величина X может принимать два значения x1 и x2 с

вероятностями 0,6 и 0,4. Найти значения x1 и x2 , если известно, что

математическое ожидание случайной величины X равно 24, дисперсия равна

0,24 и x1 > x2 .

24. Производятся три независимых испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в каждом отдельном испытании, если известно, что вероятность наступления события А от одного до двух раз равна Р3 (1, 2)=0,27 и

р < 0,5.

25. Дискретная случайная величина X имеет только три возможных значения: x1 = 1, x2 , x3 , причем x3 > x2 > x1 . Вероятность того, что X примет

значение x1 и x2 равна 0,3 и 0,2, соответственно. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание M (x) = 2,2 и дисперсию

Д(x) = 0,76.

26.Известно, что случайная величина X может принимать только три значения: 2, 3 и 4. Определить вероятности этих значений, если известны

математическое ожидание и дисперсия случайной величины: M (x) = 3,2 ;

Д(x) = 0,76.

27.Дискретная случайная величина X имеет только два возможных значения: x1 и x2 , причем x2 > x1 . Вероятность того, что X примет значение x1 ,

равна 0,2. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание M (x) = 2,6 и среднее квадратическое отклонение σ (х) = 0,8 .

28.Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность р появления события А в каждом отдельном испытании, если известно, что среднее квадратическое отклонение числа появлений события А в четырех независимых испытаниях равна 0,6 и р < 0,5.

29.Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения: x1 и x2 , причем x2 > x1 . Вероятность того, что X примет значение x1 ,

равна 0,6. Найти закон распределения величины X, зная ее математическое ожидание и дисперсию: M (x) = 1,4 , Д(x) = 0,24 .

30. Производятся четыре независимых испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз, если известно, что математическое ожидание числа появлений события А равно 3,6.

Задание 2.

Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти:

1)плотность распределения f(x), математическое ожидание M (x) , дисперсию

Д(x) .

2)построить графики f(x) и F(x);

3)Вычислить вероятность попадания СВ Х в интервал (α,β), т.е. Р (α<х<β).

1.	0,		x ≤ 0;	2.
											x ≤ −1;
	x2					0,					x ≤ −1;
	F(x) =	,	0 < x ≤ 4;				3				3				1
	F(x) =	,	0 < x ≤ 4;				3				3				1
	16					F(x) =		x +				,		− 1 < x ≤		;
	16		x > 4.			F(x) =	4	x +			4	,		− 1 < x ≤	3	;
	1,		x > 4.				4				4		1		3
													1
	(α = 2;β = 3)					1,				x >				.
	(α = 2;β = 3)					1,				x >			3	.
													3
						(α = 0; β	= 1		3		)
									3
					72

x < 2;

x ≤ −2;

F(x) =

2 < x ≤ 4;

+ 1,

- 2 < x ≤ 0;

0,5x − 1,

F(x) = 0,5x

x > 4.

x > 0.

(α = 1;β = 3)

(α = −1; β = 0)

x ≤ −3;

x ≤ 0;

F(x) = x

0 < x ≤ 1;

F(x) = 1 +

− 3 < x ≤ 0;

x > 0.

x > 1.

(α = 0,25; β = 0,5)

(α = −2; β = 0)

x ≤ 6;

x ≤ 4;

− 2,

4 < x ≤ 6;

F(x) = 0,5x

F(x) =

− 2,

6 < x ≤ 9;

x > 6.

x > 9.

(α = 4; β = 5)

(α = 5; β = 8)

x ≤ 0;

10.

x ≤ −0,5;

0 < x ≤ 1;

− 0,5 < x ≤ 0;

F(x) = x,

F(x) = 2x + 1,

x > 1.

x > 0.

(α = 0,25; β = 0,5)

(α = −0,5;β = −0,2)

11.

x ≤ −1;

12.

x ≤ 0;

+ 1

F(x) =

− 1 < x ≤ 2;

F(x) =

0 < x ≤ 5;

x > 2.

x > 5.

(α = 1; β = 2)

(α = 1; β = 4)

13.

x ≤ −1;

14.

x ≤ 0;

+ 1

F(x) =

0 < x ≤ 3;

F(x) =

− 1 < x ≤ 1;

x > 1.

x > 3.

(α = −0,5; β = 0,5)

(α = 1; β = 3)

15.

x ≤ 1;

16.

x ≤ −1;

− 1

3 +

F(x) =

1 < x ≤ 3;

F(x) =

− 1< x ≤ 2;

x > 3.

x > 2.

(α = 2; β = 3)

(α = 0; β = 1)

17.		0,							x ≤ 0;					18.	0,				x < 2;
																					2
		x													F(x) = (x −				2)		2		,		2 < x ≤ 3;
	F(x) =					, 0 < x ≤ 4;
	F(x) =					, 0 < x ≤ 4;
				4					x > 4.						1,				x > 3.
		1,							x > 4.
															(α = 2;β = 5)
	(α = 1; β = 3)
19.		0,							x < 1;					20.	0,				x < 0;
																2
		x(x − 1)													x	2
	F(x) =									,		1 < x ≤ 2;			F(x) =		,					0 < x ≤ 3;
							2

															9
		1,							x > 2.						1,				x > 3.

	(α = 1,5;β = 2)														(α = 1; β = 2)
21.		0,							x ≤ 2;					22.	0,				x < 2;
						− 2
		x				− 2									x(x − 2)
	F(x) =								,		2 < x ≤ 4;				F(x) =									,	2 < x ≤ 3;
	F(x) =					2			,		2 < x ≤ 4;				F(x) =		3							,	2 < x ≤ 3;
						2			x > 4.								3
		1,							x > 4.						1,				x > 3.

	(α = 2;β = 3)														(α = 2;β = 2,5)
23.		0,							x ≤ 3;					24.	0,				x ≤ 0;
						− 3										2
		x				− 3									x	2
	F(x) =							,			3 < x ≤ 6;				F(x) =			,				0 < x ≤ 6;
						3

															36
		1,							x > 6.						1,				x > 6.

	(α = 4;β = 5)														(α = 2;β = 4)
25.		0,							x ≤ −1;					26.	0,				x ≤ 0;
					3
	F(x) = x				3		+ 1,				− 1 < x ≤ 0;				x
															F(x) =	,			0 < x ≤ 5;
															F(x) =	,			0 < x ≤ 5;
		1,							x > 0.						5				x > 5.
															1,				x > 5.
	(α = −0,5;β = 0)
															(α = 1;β = 4)
27.		0,							x ≤ −1;					28.	0,				x < 1;
						+ 1														2
		x				+ 1									F(x) = (x − 1)					2		,			1 < x ≤ 2;
	F(x) =							,			− 1 < x ≤ 3;
	F(x) =							,			− 1 < x ≤ 3;
					4				x > 3.						1,				x > 6.
		1,							x > 3.
															(α = 1;β = 1,5)
	(α = 0;β = 2)
29.			0,						x ≤		− 1		;	30.	0,				x3;
			0,						x ≤			3	;
	F (x) =											3					− 3)2 ,								3 < x ≤ 4;
	F (x) =	3x + 1,									-1 < x ≤ 0;				F(x) = (x		− 3)2 ,								3 < x ≤ 4;
												3
								x > 0.				3							x > 4.
		1,						x > 0.							1,				x > 4.
															(α = 3,5;β = 4)
	(α = −0,2;β = −0,1)

Задание 3. СВ Х подчиняется закону распределения с плотностью f (x).

1)Найти А, F(x) , M (Х) , D(Х) ;

2)Построить графики f (x) и F(x) ;

3)Найти P(α < x < β ) .

x ≤ 1;

f (x) =

x ≤ 0;

−5x

f (x) =

1 < x ≤ 3;

x > 0.

> 3.

(α = 1;β = 2)

(α = 1;β = 3)

< 0;

x ≤ 1;

f (x) =

0 < x ≤ π 4;

Acos 2x,

f (x) =

1 < x ≤ 4;

> π 4.

x > 4.

(α = 0;β = π 6)

(α = 2;β = 4)

f (x) =

≤ 0;

x ≤ −π 2;

x > 0.

f (x) =

− π 2 < x ≤ 0;

Ae−3x ,

Asin x,

(α = 1;β = 2)

x > 0.

(α = −π 3;β = 0)

f (x) =

≤ 0;

x < −π 2;

x > 0.

f (x) =

− π 2 < x ≤ π 2;

Ae−2x ,

Acos x,

(α = 0;β = 3)

x > π 2.

(α = 0;β = π 4)

x ≤ 0;

10.

x ≤ 0;

f (x) =

0 < x ≤ 2;

f (x) =

2 ,

0 < x ≤ 4;

Ax3 ,

> 2.

x > 4.

(α = 0;β = 1)

(α = 1;β = 3)

11.

≤ 0;

12.

x ≤ 0;

f (x) =

0 < x ≤ 4;

f (x) =

− x2 ), 0 < x ≤ 2;

Ax + 0,5,

A(4x

> 4.

x > 2.

(α = 1;β = 2)

(α = 1; β = 1,5)

13.

f (x) =

≤ 0;

14.

x ≤ − π 2;

x > 0.

f (x) =

− π 2 < x ≤ 0;

Ae− x ,

Asin 2x,

(α = 1; β = 3)

x > 0.

(α = −π 6;β = 0)

15.

x ≤ 0;

16.

x ≤ 0;

f (x) =

− x),

0 < x ≤ 2;

f (x) =

0 < x ≤ π 3;

A(2

Asin 3x,

x > 2.

x > π 3.

(α = 1;β = 2)

(α = 0;β = π 4)

17.

x ≤ 0;

18.

x ≤ 0;

f (x) =

+ 1),

0 < x ≤ 3;

f (x) =

0 < x ≤ π 6;

A(x

Acos3x,

x > 3.

x > π 6.

(α = 1;β = 2)

(α = π 12;β = π 6)

19.

x ≤ 1;

20.

x ≤ 2;

f (x) =

− 3),

1 < x ≤ 4;

f (x) =

+ 2),

2 < x ≤ 5;

A(x

x > 4.

x > 5.

(α = 2;β = 3)

(α = 3;β = 4)

21.

x ≤ 0;

22.

x ≤ 0;

f (x) =

0 < x ≤ 3;

f (x) =

Ax −

0 < x ≤ 4;

x > 3.

x > 4.

(α = 1;β = 2)

(α = 2;β = 3)

23.

f (x) =

x ≤ 0;

24.

x ≤ 0;

−4x

x > 0.

f (x) =

Acos

0 < x ≤ π ;

(α = 1;β = 2)

x > π .

(α = π 3;β = π 2)

25.

x ≤ 0;

26.

x < 1;

f (x) =

+ 1,

0 < x ≤ 4;

f (x) =

− x),

1 < x ≤ 5;

A(5

x > 4.

x > 5.

(α = 2;β = 3)

(α = 2;β = 4)

27.

x < 0;

28.

x < 2;

f (x) =

− 3),

2 < x ≤ 3;

A(3x − x2 ), 0 < x ≤ 3;

A(x

x > 3.

(α = 2;β = 2,7)

(α = 1;β = 2)

29.

x < 1;

30.

x < 0;

f (x) =

1 < x ≤ 3;

f (x) =

2 − x),

0 < x ≤ 1;

x − A,

A(x

x > 3.

x > 1.

(α = 1;β = 2)

(α = 0;β = 0,5)

Задание 4. Закон распределения СВ Х задан таблицей.

1)Найти неизвестную вероятность р: F(x) , M (X ) , D(X ) , начальный и

центральный моменты четвертого порядка (α4 , μ4 ), асимметрию Sк и эксцесс Ех.

2)Построить полигон распределения и F(x) .

3)Вычислить P(a < x < b)

1.	Х	-1	0	3	4	2.	Х	0	1	2	4
	р	0,1	0,4	-	0,1		р	0,1	0,3	0,5	-
3.	a = 1;b = 3					4.	a = 1;b = 3
							Х
	Х	-1	0	3	4		Х	-1	0	1	2
	р	0,1	-	0,3	0,2		р	0,2	-	0,3	0,3
	a = 3;b = 4						a = 0;b = 2
5.						6.	Х
5.	Х	-1	0	2	3	6.	Х	1	2	3	4
	р	0,3	0,1	-	0,2		р	0,2	0,4	0,1	-
	a = 2;	b = 3					a = 3;b = 4
7.						8.	Х
7.	Х	1	2	3	4	8.	Х	1	2	3	5
	р	-	0,5	0,2	0,1		р	0,3	0,3	-	0,2
	a = 2;	b = 3					a = 2;	b = 4
9.						10.	Х
9.	Х	-2	-1	0	1	10.	Х	-2	-1	0	1
	р	-	0,4	0,1	0,2		р	0,2	0,4	0,2	-
11.	a = 0;	b = 2				12.	a = 0;	b = 1
							Х
	Х	1	2	3	4		Х	-1	0	1	2
	р	0,1	0,4	0,3	-		р	-	0,3	0,2	0,3
	a = 1;b = 3						a = 1;b = 2
13.						14.	Х
13.	Х	-5	0	5	10	14.	Х	-1	0	1	4
	р	0,2	-	0,4	0,3		р	0,1	0,4	-	0,3
15.	a = 5;b = 10					16.	a = −1;b = 0
							Х
	Х	0	1	3	4		Х	-1	0	3	4
	р	0,2	-	0,2	0,5		р	-	0,4	0,3	0,1
	a = 0;	b = 3					a = 3;b = 4
17.						18.	Х
17.	Х	0	1	3	4	18.	Х	-1	0	3	4
	р	0,1	0,4	0,2	-		р	0,1	0,3	-	0,3
	a = 2;	b = 4					a = 2;	b = 3

19.	Х	0	1	3	4	20.	Х	-1	0	3	4
	р	0,2	0,3	-	0,4		р	-	0,4	0,3	0,2
	a = 2;	b = 4					a = 1;b = 4
21.						22.	Х
21.	Х	0	1	3	4	22.	Х	-1	0	2	3
	р	0,4	0,2	0,3	-		р	0,2	-	0,3	0,2
	a = 3;b = 4						a = 1;b = 2
23.						24.	Х
23.	Х	0	1	2	4	24.	Х	-1	0	3	4
	р	-	0,3	0,4	0,2		р	0,2	0,2	0,3	-
	a = 1;b = 4						a = 1;b = 3
25.						26.	Х
25.	Х	0	1	3	4	26.	Х	-1	0	3	4
	р	0,4	0,3	-	0,1		р	-	0,4	0,1	0,4
27.	a = 2;	b = 3				28.	a = 2;	b = 3
27.	Х	0	1	3	4	28.	Х	-1	0	3	4
	р	-	0,3	0,2	0,4		р	0,2	-	0,3	0,2
	a = 1;b = 3						a = 1;b = 2
29.						30.	Х
29.	Х	0	1	3	4	30.	Х	-1	0	2	3
	р	0,3	0,2	0,3	-		р	0,3	0,1	-	0,5
	a = 1;b = 2						a = −1;b = 2

Задание 5.

1. Непрерывная случайная величина Х распределена равномерно в интервале (a,b) . Найти:

а) дифференциальную и интегральную функции распределения, построить их графики.

б) характеристики случайной величины: M (Х) , D(X ) , σ (X ) . в) вероятность попадания случайной величины в интервал (с,d) .

Значения параметров a, b, c, d в таблице №9.

Таблица 9

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
a	3	-5	9	5	16	2	1	-3	5	7	3	10	-4	1	2
b	6	15	15	9	20	8	6	12	11	19	9	16	8	7	10
c	4	0	11	3	17	3	2	1	6	10	4	11	0	3	5
d	5	5	14	8	22	5	4	4	12	14	6	15	5	6	8

2. Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром X. Найти:

а.) дифференциальную и интегральную функции распределения, построить их графики.

б) характеристики случайной величины: M (Х) , D(X ) , σ (X ) . в) вероятность попадания случайной величины в интервал (a,b) .

Значения параметров λ , a, b в таблице №10.

Таблица 10

Вариант	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
λ	3	2	0,6	5	0,6	0,4	4	0,3	3	2	0,2	5	0,1	4	0,4
a	1,5	2	2	0,4	5	1	1	3	1	1	1	0,3	2	2	2
b	3	8	5	1	10	7	4	6	4	6	4	1	6	3	7

Задание 6.

Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами а, σ . Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение:

а) в интервале (b;c) ;

б) меньше b; в) больше с;

г) отличающееся от своего математического ожидания по абсолютной величине не больше чем на ε .

Значения параметров а, b, с, d, ε , σ в таблице №11.

Таблица 11

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
a	0	20	6	5	6	8	0	3	5	1	2	3	13	14	12
b	2	5	2	2	2	1	8	2	0,81	2	2	2	7	8	6
c	-1	15	3	1	4	5	-1	3	4	0	1	2	9	9	9
ε	2	25	7	10	8	7	3	4	9	3	4	5	21	24	18
σ	1	1	2	2	2	1	3	5	0,5	1	1	2	4	5	3

Вариант	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
a	0	4	5	6	7	8	9	10	11	12	15	16	17	18	19
b	3	6	7	8	9	2	3	4	5	6	9	2	3	4	7
c	-1	-1	4	4	4	4	4	9	9	9	14	14	14	14	4
ε	2	14	7	10	13	16	19	12	15	18	17	20	23	26	7
σ	1	5	1	2	3	4	5	1	2	3	1	2	3	4	1

Решение типового варианта

1. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества изготовляемых изделий контролер берег из партии не более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся партия задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых в каждой партии. Найти математическое ожидание идисперсию этойслучайной величины.

Решение.

Случайная величина X может принимать значения 1, 2, 3, 4. Она примет значение x1 = 1, если первое проверяемое изделие окажется нестандартным.

Вероятность такогоисхода испытания P(X = x1 = 1) .

Проверка партии ограничивается двумя изделиями, если первое окажется стандартным, а второе нестандартным. P(X = x2 = 2) = 0,9 0,1 = 0,09

(используется теорема вероятности произведения двух несовместных событий). Проверяются последовательно три изделия, если первые два оказались

стандартными, адругоенестандартным. P(X = x3 = 3) = 0,9 0,9 0,1 = 0,081

Четыре изделия проверяются, если первые три изделия окажутся стандартными. Здесь возможны два случая: или окажутся стандартными все 4 изделия, или первые 3 изделия - стандартные, а четвергов нестандартное. Но теореме сложения вероятностей получим

P(X = x4 = 4) = (0,9)4 + (0,9)3 0,1 = 0,6561+ 0,0729 = 0,729.

ПолучимследующийзаконраспределенияДСВХ:

Х:	xi	1	2	3	4
Х:	p	0,1	0,09	0,081	0,729
	i

Проверка:

∑ pi = 0,1+ 0,09 + 0,081+ 0,729 = 1

i=1

Математическое ожидание

4
M (X ) = ∑ xi pi = 1	0,1	+ 2	0,09	+ 3 0,081+ 4 0,729		= 3,349 .
i=1
Дисперсия
4							− (3,349)2 = 1,547 .
D(X ) = ∑ xi2 pi − (M (X ))2 = 1 0,1+ 4 0,09					+ 9 0,081+ 16 0,729		− (3,349)2 = 1,547 .

i=1

Ответ: M (X ) = 3,349 ; D(X ) = 1,547 .

2. Вероятность поступления в магазин со склада комплекта посуды с какимлибо дефектом, как показали наблюдения, можно принять равной 0,1. Составить закон распределения случайной величины X - числа доброкачественных комплектов из пяти поступивших. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднееквадратическоеотклонение ДСВ Х.

Решение.

Случайная величина может принимать следующие числовые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5, т.е. Х= {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Вероятность поступления доброкачественного комплекта р=0; дефектного комплекта q=0,1 (по условию задачи).

ВоспользуемсяформулойБернулли:

P(X = m) = Pnm = Cnm pmqn− m .

P(X = 0) = C50 p0q5 = 1 1 (0,1)5 = 0,00001 (все комплекты бракованные).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.04.2015421.33 Кб363080.pdf
#
09.04.2015833.01 Кб393082 ЭИ.pdf
#
09.04.2015783.92 Кб1113094.pdf
#
15.03.2016942.46 Кб113108 ЭИ.pdf
#
09.04.2015547.16 Кб183111.pdf
#
09.04.2015794.15 Кб3683114.pdf
#
09.04.2015592.1 Кб333126 Моделирование контрольная.pdf
#
15.03.2016219.34 Кб83136.pdf
#
09.04.201577.12 Кб1433143.docx
#
15.03.2016304.35 Кб183145 ЭИ.pdf
#
09.04.2015601.13 Кб1883154.pdf