3114
.pdfОтвет: |
P1000 (1) = 0,1494 , |
P1000 (2) = 0,2240 , |
P1000 (3) = 0,2240 , |
P(А) = 1− (P500 (0) + P500 (1)) = 0,8008 . |
|
|
|
Работа 4
1)Переписать текст задачи, заменяя все параметры их значениями для решаемого варианта.
2)Определить исходные данные и результаты.
3)Определить подходящие формулы вычисления и выполнить вычисления при помощи микрокалькулятора и таблиц.
4)Построить требуемые графики.
Задание 1. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Вычислить все вероятности pk , k = 1,2,..., n , где k -
частота события А. |
Построить график вероятностей pk . Найти |
||||
наивероятнейшую частоту. |
|
|
|
|
|
Значения параметров п и |
р вычислить по следующим формулам: |
||||
|
11,V ≤ 10, |
|
|
|
|
n = 10,10 < V ≤ 20, p = 0,3 + |
|
V |
, |
||
100 |
|||||
|
9,V > 20. |
|
|||
|
|
|
|
||
Задание 2. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность что событие А происходит:
а) точно G раз;
б) точно L раз;
в) меньше чем М и больше чем F раз; г) меньше чем R раз.
Значения параметров п, р, G, L, М, Р и R вычислить по следующимформулам:
n = 500 + V 10, |
p = 0,4 + |
|
V |
, |
|
100 |
|||||
G = 220 + V 10 , |
|
|
|||
L = G − 30 , |
|
||||
M = G + 20 + V , F = G − 40 + V , R = G + 15 .
Задание 3. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью р. Найти вероятность того, что среди п соединений имеет место: а) точно G неправильных соединений;
б) меньше чем L неправильных соединений; в) больше чем М неправильных соединений.
Значения параметров р, п, G, L и М вычислить по следующим формулам:
D = V 100 + 200, |
S = остаток |
V |
+ 1, |
|
|
7 |
|
|
51 |
|
|
p = |
1 |
, |
G = остаток |
|
V |
|
+ 1, |
D |
|
5 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
n = S D , |
M = остаток |
V |
+ 2, |
||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
L = остаток |
V |
+ 3. |
||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
Задание 4. В каждом из п независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью р. Найти вероятность того, что относительная частота k / n этого события отличается по абсолютной величине от вероятности р не больше чем на ε1 > 0 (ε 2 > 0 ).
Значения параметров n, p, ε1 и ε 2 вычислить по следующим формулам:
n = 600 − V 10, |
|
p = 0,85 − |
|
V |
, |
||
|
100 |
||||||
|
|
V |
|
|
|
||
ε1 = 0,0055 − |
|
, |
ε 2 = 2ε1 . |
|
|
|
|
10000 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
Задание 5.
1.В среднем по 15% договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из десяти договоров страховая сумма, связанная с наступлением страхового случая, будет выплачена: а) по трем договорам; б) менее, чем по двум договорам.
2.Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течении года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий в течении года прекратят свою деятельность: а) не более двух; б) более трех?
3.Инвестор вложил поровну средства в три предприятия при условии возврата ему через определенный срок 150% от вложенной суммы. Вероятность банкротства каждого из предприятий равна 0,2. Какова вероятность того, что по истечении срока инвестор не останется в убытке?
4.Игральная кость подброшена 5 раз. Найти вероятность того, что «3» выпадет один раз; не менее 2-х раз.
5.Производственная компания изготавливает продукцию крупными партиями. В среднем 10% изделий получаются с дефектом. Из каждой партии случайным образом выбирается 20 изделий. Партия принимается, если выборка содержит не более трех дефектных изделий. Какова вероятность того, что партия будет принята?
6.Вероятность того, что в течении года малое предприятие станет банкротом, равна 0,2. Найти вероятность того, что из пяти малых предприятий
втечении года банкротом станут: а) не менее двух; б) от двух до четырех включительно.
7.В некотором опыте, проводимом 8 раз вероятность появления события А постоянна и равна 0,7. Найти вероятность того, что оно появится 6 раз; не менее 5-ти раз.
52
8.Вероятность изготовления бракованной детали 0,2. Найти вероятность того, что из 10 деталей бракованными окажутся 2 детали; не менее 3-х деталей.
9.В среднем 20% пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 8 пакетов акций по первоначально заявленной цене будут проданы: а) не менее трех; б) от двух до четырех включительно.
10.Вероятность попасть в мишень при одном выстреле – 0,6. Произведено 5 выстрелов. Найти вероятность 2-х промахов; не менее 2-х промахов.
11.Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6, он собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель: а) три раза, б) хотя бы один раз.
12.Найти вероятность того, что при четырёх подбрасываниях игральной кости 5 очков появятся: а) два раза; б) хотя бы один раз.
13.Всхожесть семян некоторого растения составляет 80%. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) пять семян; б) не менее четырёх; в) не более одного.
14.Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов группы наудачу вызываются три студента. Определить вероятность всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться среди вызванных трёх студентов.
15.В семье пять детей. Считая вероятности рождений мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков.
16.Всхожесть клубней картофеля равна 80%. Сколько нужно посадить клубней, чтобы наивероятнейшее число взошедших из них было равно 100?
17.Вероятность ошибки при решении студентом задачи равна 0,2. Решается 5 задач. Найти вероятность того, что будет сделана 1 ошибка; не более 2-х ошибок.
18.Два равносильных противника играют в шахматы. Для каждого из них
–что вероятнее выиграть: а) одну партию из двух или две из четырёх; б) не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти. Ничьи во внимание не принимаются.
19.Торговый агент в среднем контактирует с восемью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно, что вероятность того, что потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0,1. а) Чему равна для агента вероятность двух продаж в течение одного дня? б) Чему равна вероятность того, что у агента будут хотя бы две продажи в течение дня?
20.Фирма предлагает в продажу со склада партию из 10 компьютеров, 4 из которых – с дефектами. Покупатель приобретает 5 из них, не зная о возможных дефектах. Чему равна вероятность того, что все 5 компьютеров окажутся без дефектов?
21.Игральный кубик бросают пять раз. Найти вероятность того, что 2 раза появится число очков кратное трём.
53
22.При каждом выстреле из орудия вероятность поражения цели 0,8. Найти вероятность того, что при 5-ти выстрелах будет сделано: а)три промаха, б) хотя бы один промах.
23.В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 стрел пущенных в круг, в квадрат попадут: а) три стрелы; б) хотя бы одна.
24.Устройство состоит из 8 независимо работающих элементов. Вероятности отказа каждого p=0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно, чтобы отказали хотя бы два элемента.
25.За один цикл автомат изготавливает 10 деталей, при этом в среднем, 1 оказывается бракованной. Найти вероятность того, что из 5 циклов бракованных будет 3, хотя бы одна.
26.Что вероятней выиграть у равносильного противника (ничейный результат исключён): три партии из четырёх или пять из восьми?
27.В пассажирском вагоне 4 кондиционера. Вероятность того, что кондиционер включён 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент: а) включено два кондиционера; б) включён хотя бы один.
28.Произведено 6 выстрелов по цели. Вероятность промаха при одном выстреле 0,3; найти вероятность наивероятнейшего числа попадания.
29.Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью, равной 0,9. Какова вероятность того, что из 5 посеянных хотя бы одно не взойдёт.
30.Среди изделий некоторого производства имеется 5% бракованных. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наугад изделий: а) нет ни одного бракованного; б) два бракованных изделия.
Задание 6.
1.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что а) событие наступит 20 раз; б) событие наступит более 20 раз.
2.Автопарк насчитывает 120 машин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,7. Найти вероятность нормальной работы автопарка, если для этого необходимо иметь не менее 80 исправных машин. Какова вероятность выхода на линию 90 машин?
3.Вероятность своевременного прибытия каждого поезда равна 0,85. Найти вероятность того, что из 120 прибывших поездов: а) 100 поездов прибудут без опоздания; б) не более 110 поездов прибудут без опоздания.
4.Всхожесть семян данного растения 90%. Найти вероятность того, что из 800 посаженных семян взойдёт: а) не меньше 700; б) Ровно 710 семян.
5.Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,15. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажутся неисправными ровно 60; от 70 до 100 штук.
6.Игральную кость бросают 100 раз. Найти вероятность того, что цифра 5 появится ровно 17 раз, от 20 до 30 раз.
7.Вероятность того, что абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Какова
54
вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента; не менее 2 абонентов.
8.По данным ОТК в среднем 15% изготовляемых на заводе часов нуждаются в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из 400 изготовленных часов: а) 340 не будут нуждаться в регулировке; б) от 320 до 400 часов не будут нуждаться в регулировке.
9.Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,2. Найти вероятность того, что в 200 испытаниях событие появится 40 раз; не менее 35 раз.
10.Всхожесть семян оценивается вероятностью 0,75. Найти вероятность того, что из 500 посаженных семян не взойдёт 130 семян; не взойдет не более
120, если.
11.Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью p=0,3. Опыт повторяют при неизменных условиях 150 раз. Найти вероятности того, что событие А появится не более 50 раз; событие А появится ровно 45 раз.
12.Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью p=0,5. Опыт повторяют при неизменных условиях 900 раз. Какова вероятность того, что событие А появится ровно 450 раз; не менее 400 раз.
13.В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что в пакете содержится недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено: а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трёх ошибочно укомплектованных пакетов.
14.Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти вероятность того, что из 800 пассажиров опоздают ровно 9; не более 10-ти.
15.Вероятность того, что изделие, имеющее дефект, пройдёт входной контроль, равна 0,002. Найти вероятность того, что из партии, содержащей 500 дефектных изделий, входной контроль пройдут: а) 1 дефектное изделие; б) более двух дефектных изделий.
16.На базу отправлено 1000 изделий. Вероятность того, что изделия будет повреждено в пути, равна 0,003. Найти вероятность того, что на базу прибудет: а) три повреждённых изделия; б) более трёх повреждённых изделий.
17.На предприятии работает 1400 сотрудников. Найти вероятность того, что 31 декабря является днём рождения: а) двух сотрудников; б) не менее двух сотрудников.
18.Вероятность изготовления нестандартного изделия при массовом производстве равна 0,001. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий окажется: а) 3 нестандартных изделия; б) менее 1998 стандартных.
19.Телефонный кабель состоит из 400 пар. Вероятность того, что пара повреждена, равна 0,0125. С какой вероятностью этим кабелем можно подключить к телефонной сети 395 абонентов, если для подключения каждого абонента нужна одна пара.
55
20.В страховой компании от несчастного случая застраховано 10000 человек. Вероятность несчастного случая равна 0,0004. При возникновении несчастного случая клиенту компании выплачивается страховая сумма. Найти вероятность того, что страховую сумму придётся выплачивать: а) 4 клиентам; б) менее чем двум клиентам.
21.В штате предприятия состоит 730 сотрудников. Найти вероятность того, что день рождения двух любых сотрудников приходится на один и тот же день.
22.Полиграфическая фирма издала рекламные проспекты тиражом 1000 экземпляров. Вероятность того, что отдельный экземпляр проспекта окажется бракованным, равна 0, 002. Найти вероятность того, что: а) тираж содержит 2 бракованных проспекта; б) по крайней мере 998 проспектов не будут иметь дефектов.
23.Вероятность того, что сошедшая с конвейера деталь стандартная, равна 0,9. Найти вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей: а) 356 окажутся стандартными; б) от 340 до 400 будут стандартные.
24.В некотором городе из каждых 100 семей 80 имеют видеомагнитофоны. Найти вероятность того, что 320 из 400 имеют видеомагнитофоны; что видеомагнитофоны имеют более 330 семей.
25.В некотором городе из каждых 100 семей 95 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 500 случайно выбранных семей имеют холодильники: а) от 360 до 400 включительно; б) ровно 470 семей.
26.Строительная фирма раскладывает рекламные проспекты по почтовым ящикам. Прежний опыт работы показывает, что примерно в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 тысяч проспектов число заказов будет: а) равно 48; б) не менее
50.
27.Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью p=0,7. Опыт повторяют при неизменных условиях 70 раз. Какова вероятность, что событие А появится: а) ровно 50 раз; б) от 40 до 50 раз.
28.В пчелиной семье 5000 пчёл. Вероятность заболевания в течение дня равна 0,001 для каждой пчелы. Найти вероятность того, что в течение дня заболеют 4 пчелы; более 5-ти пчел.
29.Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты правильно сработает p=0,9. Найти вероятность того, что при опускании 300 монет автомат не сработает правильно 30 раз; не более 20 раз.
30.Установлено, что виноградник поражён вредителями в среднем на 10%. Определить вероятность того, что из 10 проверенных кустов винограда один будет поражён. Вычислить вероятности по формулам Бернулли, Пуассона, Лапласа. Сравнить результаты.
56
Решение типового варианта
1. В каждом из 5 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности P5 (k) , k = 0,1,2,3,4,5,
где k – частота события А. Построить график вероятностей P5 (k) . Вычислить наивероятнейшую частоту m0 .
Решение. Задано n = 5, p = 0,3, q = 1− 0,3 = 0,7 . Найти P5 (0) , P5 (1) , …, P5 (5) .
P5 (0) = (0,7)5 = 0,1681,
P5 (5) = (0,3)5 = 0,0024 .
Остальные вероятности вычислим по формуле Бернулли (4.1):
P5 (1) = C51 (0,3)1 (0,7)4 = 0,3602 ,
P5 (2) = C52 (0,3)2 (0,7)3 = 0,3087 ,
P5 (3) = C53 (0,3)3 (0,7)2 = 0,1323,
P5 (4) = C54 (0,3)4 (0,7)1 = 0,0284 .
Результаты вычислений запишем в таблицу. Если вычисления верны, то
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
должно выполнятся равенство: ∑ Pk (k) = 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
k |
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
|
P5 (k) |
0,1681 |
|
0,3602 |
|
0,3087 |
0,1323 |
|
0,0284 |
0,0024 |
||
|
По найденным значениям вероятностей построим график |
|
|
|||||||||
|
|
|
P5 (k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
k |
|
|
|
Найдем наивероятнейшую частоту m0 |
по формуле (4.6) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
n p − q ≤ m0 ≤ n p + p , |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
n p − q = 5 0,3 − 0,7 = 0,8, |
|
|
|
||||
n p + p = 5 0,3 + 0,3 = 1,8 ,
0,8 ≤ m0 ≤ 1,8
Значит, наивероятнейшая частота m0 = 1, как и было получено ранее, значит P5 (1) является максимальным.
57
2. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А произойдет:
а) точно 220 раз, б) точно 190 раз,
в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз, г) меньше чем 235 раз.
Решение.
Задано: n = 500, p = 0,4 , q = 0,6 .
Т.к n велико используем теоремы Муавра – Лапласа: локальную (4.2) в случаях а) и б) и интегральную (4.3) для случаев в) и г).
а) P500 (220) ≈ |
1 |
|
|
220 − 500 0,4 |
|
||
0,4 |
ϕ |
|
120 |
|
|
||
500 |
0,6 |
|
|
|
|
||
по таблице приложения 1 находим значение ϕ (1,82) = 0,0761, |
|||||||
P500 (220) ≈ 0,0069 . |
|
|
|
190 − 500 0,4 |
|
||
б) P500 (190) ≈ |
1 |
|
|
||||
0,4 |
ϕ |
|
120 |
|
|
||
500 |
0,6 |
|
|
|
|
||
по таблице ϕ (− 0,91) = 0,2637 , |
|
|
|
|
|||
P500 (190) ≈ 0,02407 . |
|
|
0,4 |
180 − 500 |
|
||
|
240 |
− 500 |
0,4 |
||||
в) P500 (180,240) ≈ Ф |
120 |
|
− Ф |
120 |
|
||
|
|
|
|
|
|||
по таблице приложения 2 находим значения функции Лапласа Ф(x): |
|||||||
Ф(3,64) = 0,499841, Ф(− 1,82) |
= −0,4656 , т.к Ф(− x) = −Ф(x). |
||||||
P500 (180,240) ≈ Ф(3,64)− Ф(− 1,82) = 0,4998 + 0,4656 = 0,9654 . |
|||||||
г) |
|
|
|
0 − 500 |
|
|
|
235 − 500 0,4 |
0,4 |
|
|||||
P500 (0,235) ≈ Ф |
120 |
|
− Ф |
120 |
= Ф(3,18)− Ф(− 1,82) = 0,49931+ |
||
|
|
|
|
|
|||
+0,4656 = 0,9649.
3.На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) точно 1 неправильное соединение; б) меньше чем 3 неправильных соединения;
в) больше чем 2 неправильных соединения.
Решение. Здесь вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (4.4).
а) Задано: n = 200 , p = 2001 , m = 1.
Найти: P200 (1) . Получаем λ = 200 2001 = 1.
58
P200 (1) ≈ 11 1е! −1 ≈ 0,3679 .
б) Задано: n = 200 , p = 2001 , m < 3.
Найти: P200 (m < 3) . Имеем λ = 1,
P200 (m < 3) = P200 (0) + P200 (1) + P200 (2) = 0,3679 + 0,3679 + 0,1839 = 0,9197 .
в) Задано: n = 200 , p = 2001 , m > 2 .
Найти: P200 (m > 2) . Находим λ = 1
Эту задачу можно решить проще, найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем
P200 (m > 2) = 1− P200 (m ≤ 2) = 1− P200 (m < 3) = 1− 0,9197 = 0,0803.
4. В каждом из 600 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что относительная частота k
600 этого события отличается по абсолютной величине от
вероятности 0,85 не больше чем на 0,0055 (на 0,011).
Решение. Задано: n = 600 , p = 0,85, ε1 = 0,0055, ε 2 = 0,011.
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найти: |
P |
|
|
|
|
− 0,85 |
|
< 0,0055 |
и P |
|
|
|
|
− 0,85 |
|
< 0,011 . |
|
600 |
600 |
||||||||||||||||
|
600 |
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
Решаем эту задачу, используя формулу (4.5). Имеем |
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
|
600 |
|
−1= 2Ф(0,38)−1 |
|
|
P600 |
|
0,0055 |
|
= 2 0,64803−1 |
= |
|||||
|
600 |
− 0,85 < 0,0055 |
= 2Ф |
0,85 0,15 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 0,29606 , |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
m |
|
|
|
|
600 |
|
−1 = 2Ф(0,75)−1 = 2 0,77337−1 = |
P600 |
− 0,85 |
|
0,011 |
|
|||||
|
600 |
< 0,011 |
= 2Ф |
0,85 0,15 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=0,54674 .
5.Бланк программированного опроса по одному из разделов учебной дисциплины состоит из 5 вопросов. На каждый вопрос даны четыре ответа, среди у которых один правильный. Какова вероятность, что методом угадывания студенту удается выбрать: а) три правильных ответа (событие A1 );
б) не менее четырех правильных ответов (событие A2 )
Решение. Условия проведения опроса соответствуют схеме Бернулли: n = 5,
P(A) = p = 14 - вероятность выбрать правильный ответ случайным образом,
P(A) = q = 1 − p = 34 , Pn (m) = Cnm pmqn−m .
59
а) Событие A |
(т=3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 3 |
|
|
3 |
2 |
|
|
5! |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A ) = P (3) |
= C |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
45 |
= |
|
|
|
|
≈ 0,088 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
(5 |
− 3)!3! |
516 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
5 |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) Событие A2 |
(студенту удастся выбрать или 4 или 5 правильных ответов). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
|
4 |
3 |
|
5 |
|
1 5 |
|
|
3 0 |
|
|
5! |
|
|
3 |
|
5! |
|
|
1 |
|
||||
P(A ) = P (4) |
+ P (5) |
= C |
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= |
|||||||||||||
|
4 |
|
(5 |
− 3)!3! |
45 |
0!5! |
45 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
5 |
|
5 |
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
1 |
≈ 0,016 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
516 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: P(A1) ≈ 0,088, P(A2 ) ≈ 0,016
6.1. Предприятие отправило 1000 изделий, прошедших предварительную проверку. Вероятность повреждения изделия в пути, как показал опыт, можно принять равной 0,001. Найти вероятность того, что при транспортировке будет повреждено: а) одно изделие (событие A1 ); б) три изделия (событие A2 ); в) не
более трех изделий (событие A3 ); г) не менее трех изделий (событие A4 ).
Решение. Имеем: n = 1000, p = 0,001, q = 1− p = 0,999 .
Так как p<0,1 и nр=1<10 применим формулу Пуассона для маловероятных событий:
P (m) ≈ λm e−λ |
, где λ = np = 1, e ≈ 2,718 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(m = 1) ≈ 1 e−1 = 1 ≈ 0,368 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
a) P(A ) = P |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
1000 |
|
|
|
|
1! |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) P(A ) = P |
|
(m = 3) ≈ 13 |
e−1 = |
1 |
|
|
≈ 0,061. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
1000 |
|
|
|
3! |
|
|
|
|
6e |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) + P (3) ≈ 10 |
|
+ 1 e−1 + |
||||||
в) P(A ) = P |
|
(0 |
≤ m ≤ 3) = P |
|
(0) |
+ P (1) |
+ P |
e−1 |
|||||||||||||
3 |
1000 |
|
|
|
|
|
1000 |
|
|
|
|
1000 |
1000 |
1000 |
0! |
|
1! |
||||
+ 12 e−1 |
+ 13 e−1 |
|
1 |
+ 1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|||
= |
+ |
|
+ |
= |
|
|
≈ 0,981. |
|
|
|
|
||||||||||
e |
|
|
6e |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2! |
3! |
|
|
e |
|
2e |
|
|
3e |
|
|
|
|
|
|||||||
г) P(A4 ) = P1000 (3 ≤ m ≤ 1000) = 1 − P(A3 ) ≈ 1 − 0,981 ≈ 0,019 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ответ: P(A1 ) |
≈ 0,368 , P(A2 )≈ 0,061, P(A3 )≈ 0,981, P(A4 ) ≈ 0,019 . |
|
|
||||||||||||||||||
6.2. Автобусный парк насчитывает 80 машин. Вероятность выхода на линию, как показал опыт, можно принять равной 0,9. Для нормальной работы автопарка необходимо иметь исправными не менее 70 машин. Найти вероятность выхода на линию: а) ровно 70 машин (событие A1 ); б) не менее 70
машин (событие A2 ).
Решение. а) Событие A1 : n = 80 , m = 70 , p = 0,9 , q = 1− p = 0,1, np = 72 > 10 .
Используем локальную теорему Муавра – Лапласа (4.2):
60