35 Векторный магнитны потенциал

В той части пространства, где плотность тока d не равна нулю (правая часть уравнения (3.4) не равна нулю), магнитное поле можно рассматривать как вихревое. В этом случае вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора :Вектор  носит название векторного потенциала магнитного поля. Единицей измерения для векторного потенциала является В?с/м. Основанием для представления индукции в виде (3.6) служит то, что при этом всегда соблюдается закон непрерывности магнитного потока (3.2). В однородной среде (m = const) для векторного потенциала справедливо уравнение Пуассона  (3.7) и, в частности (при d = 0), уравнение Лапласа . Общее решение уравнения (3.7) может быть представлено в следующем виде:Интегрирование достаточно распространить по всему объему, где плотность тока Величина r – это расстояние от центра элемента объема dv, в котором плотность тока равна до точки, в которой определяется .Данное выражение для определения вектора по заданному распределению тока в пространстве справедливо всюду, в частности и там, где .Выражение (3.9) может быть упрощено, если токи протекают по контурам из линейных проводников, поперечные размеры сечений которых весьма малы по сравнению с длиной контуров и по сравнению с расстоянием от проводников до точек, в которых определятся .В этом случае формулу (3.9) можно преобразовать к следующему виду:где l – длина контура; i – ток в контуре.

36 Граничные условия в магнитном поле

На поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями (рис. 3.1) равны между собой касательные составляющие магнитного поля  (3.11) и нормальные составляющие магнитной индукции

Здесь индекс 1 относится к первой среде, а индекс 2 – ко второй. Условия (3.11) и (3.12) можно представить и в таком виде  и . Из данных граничных условий можно получить еще одно условие – условие преломления линий поля при переходе их из одной среды в другую:, где q₁ и q₂ – углы между вектором магнитной индукции (или напряженности) и нормалями к границе раздела сред. При этом, если вектор напряженности перпендикулярен к границе раздела, то магнитная индукция не меняется при переходе из одной среды в другую, а напряженность поля меняется скачком. Большое практическое значение имеет вопрос о характере магнитного поля в воздухе около поверхностей стальных частей различных электротехнических устройств. Магнитные проницаемости ферромагнитной среды и воздуха сильно разнятся между собой. Если магнитные силовые линии выходят из стали (например, с m₁ = 1000m₀) в воздух (m₂ = m₀), то, как следует из уравнения (3.13), угол q₂ будет много меньше угла q₁. Практически можно считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел из ферромагнитных материалов.

37 Ток и плотность тока проводимости Если в проводнике существует электрическое поле, оно вызывает упорядоченное движение зарядов, представляющих собой ток проводимости. Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток, называют удельной проводимостью g. Единицей измерения удельной проводимости является сименс на метр (См/м). Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока . Это векторная величина, совпадающая с направлением напряженности электрического поля. Численно плотность тока равна пределу отношения тока Di сквозь элемент поверхности Ds, нормальный к направлению движения заряженных частиц, к этому элементу, когда последний стремится к нулю Ток, проходящий сквозь поверхность s конечных размеров, равен Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока. Характерным отличием тока проводимости от других видов тока является то, что плотность тока проводимости при постоянной температуре пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффициентом пропорциональности и является удельная проводимость g  (2.1) Эта формула представляет закон Ома в дифференциальной форме. Если от обеих частей последнего уравнения взять интеграл по замкнутому контуру, включающему в себя источник электродвижущей силы (ЭДС), то получим второй закон Кирхгофа В общем случае говорят, что в замкнутом контуре действует электродвижущая сила е, если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, причем этот линейный интеграл равен ЭДС, действующей в контуре:Если рассматривать поле только в области пространства вне источников ЭДС, то будет справедливо уравнение (1.3) и (1.4). Последнее позволяет сделать вывод о том, что вне источников ЭДС электрическое поле постоянных токов является, так же как и электростатическое поле, безвихревым. Такое поле является потенциальным, поэтому для его характеристики может быть введена функция координат U(x,y,z), называемая электрическим потенциалом, причем и в данном случае будет справедливо уравнение (1.7).

38 З-н Ома в диффер форме Закон Ома в интегральной форме для однородного участка цепи (не содержащего ЭДС) Для однородного линейного проводника выразим R через ρ: ρ – удельное объемное сопротивление; [ρ] = [Ом·м].  Найдем связь между ив бесконечно малом объеме проводника –закон Ома в дифференциальной форме. В изотропном проводнике (в данном случае с постоянным сопротивлением) носители зарядов движутся в направлении действия силы, т.е. вектор плотности тока и вектор напряженности поляколлинеарны  Исходя из закона Ома (7.6.1), имеем:А мы знаем, чтоили. Отсюда можно записатьэто записьзакона Ома в дифференциальной форме. Здесь –удельная электропроводность.

39 З-н Джоуля Ленца в диффер форме Мощность тепловых потерь в проводнике равна произведению тока и напряжения: Если рассмотреть в проводящей среде элемент объема dV (рис. 2.4), то мощность, которая тратится в этом объеме на тепловые потери, будет равна:откудаСледовательно, в единице объема проводящей среды в единицу времени выделяется энергия, численно равная gЕ².