3 Решение уравнений линии с распредел параметр

Пусть напря­жение и ток в линии изменяются по синусоидальному закону во времени. Воспользуемся комплексно-символическим методом. Изображение тока где. Изображение напряжения: где . Комплексы и являются функциями расстояния х, но не яв­ляются функциями времени. Множитель е^jwt есть функция времени t, но не зависит от х. Представление изображений тока и напряжения в виде произве­дения двух множителей, из которых один является функцией только х, а другой функцией только t, дает возможность перейти от уравне­ний в частных производных (5.1) и (5.4) к уравнениям в простых производных. Действительно, . (5.5) (5.6) Подставим уравнения (5.5) и (5.6) в уравнения (5.1) и (5.4), сократив в получен­ных уравнениях множитель е^jwt: (5.7)(5.8) где Z₀ = R₀ + jwL₀; (5.9) Y₀ = G₀ + jwC₀; (5.10) Решим систему уравнений (5.7) и (5.8) относительно . С этой целью продифференцируем уравнение (5.7) по х: . (5.11) В уравнении (5.11) вместо подставим правую часть уравнения (5.8), получим: . (5.12) Уравнение (5.12) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение:. (5.13) Комплексные числа и в решении (5.13) есть постоянные интегрирования, ко­торые в дальнейшем определим через напряжение и ток в начале или через напряжение и ток в конце линии. Комплексное число, (5.14) принято называть постоянной распространения. Формулу (5.14) можно предста­вить в виде:  = a + jb, (5.15) где a – коэффициент затухания, характеризует затухание падающей волны на единицу длины линии, скажем, на 1 м (км); b – коэффи­циент фазы; он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии, например на 1 м (км): [] = [a] = [b] = 1/км. Ток найдем из уравнения (5.7): . (5.16) Отношение в решении (5.16), имеющее размерность со­противления с учетом обозначений (5.9) и (5.10), обозначают Z_в и называют волновым сопротивлением: , (5.17) где z_b – модуль; j_{в –} аргумент волнового сопротивления Z_в. Следовательно, решение (5.16), с учетом (5.17) .

4 Постоянная распределения и волновое сопротивл

постоянная распространения равна:  = a + jb = . Для линии постоянного тока w = 0 и потому. Для линии синусоидального тока без потерь (R₀ = G₀ = 0). Запишем формулы для приближенного определения b и a в линии с малыми потерями, когда и . С этой целью перепишем фор­мулу (5.18) следующим образом: и разложим биномы в ряды, ограничившись двумя членами каждого ряда, т.е. воспользуемся соотношением ]. Получим: . Из формулы (5.21) следует, что коэффициент затухания и коэффициент фазы соответственно равны: a = ; b =. Рассмотрим вопрос о волновом сопротивлении. Для постоянного тока (w = 0) из уравнения (5.17) с учетом уравнения (5.19) следует, что. Для линии синусоидального тока без потерь (R₀ = G₀ = 0) с учетом уравнения (5.20) имеем: . Для линии синусоидального тока с малыми потерями, когда и : .

5 Формула для определения комплексов напряжения

через х будем обозначать расстояние от начала линии до текущей точки на ней Пусть в начале линии при х = 0 напряжение и ток соответственно равны и. Соста­вим уравнения для определения постоянныхичерези. Из выражений (5.13) и (5.16) следует (х = 0):=+;Z_в=-. Для определенияиз выражения (5.22) вычтем выражение (5.23), получим:= 0,5 (-Z_в) = A₁e^jyo; = 0,5(+Z_в) = A₂e^jyп, где A₁ – модуль; y₀ – аргумент комплекса ; А₂ – модуль, y_{п –} аргу­мент комплекса .. Подставим выражения (5.24) и (5.25) в выражение (5.13), получим:. Известно, что ch x = 0,5(e^x + e^-x), sh x = 0,5(e^{x –} e^-x). Поэтому 0,5(e^gx + e^-gx) = chg x; 0,5(e^{gx –} e^-gx) = shg x. Следовательно, . Аналогичные преобразования, примененные к уравнению(5.16), дают:.