metody_i_sreedstva_ispytaniy(2736) / МУИ2- мусрс

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра ПР-7 «Персональная электроника»

Инв. № __

Экз.№__

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ПР-7

_______( Сахаров Ю.С.)

«___»_________2012г

Для студентов по

специальности

210201

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

   На самостоятельную работу

   по дисциплине 2736 «Методы и устройства испытаний электронных средств персональной электроники»

Обсуждены на заседании кафедры

(предметно-методической секции)

«__»___________2012__г.

Протокол № __

МГУПИ – 2012__г.

Цель самостоятельной работы: Приобретение практических навыков обработки результатов испытаний на персональных компьютерах. Основанием для проведения самостоятельной работы являются лекционные и лабораторные (практические) занятия.

Тема работы: Изучение способов аппроксимации результатов испытаний методом наименьших квадратов.

Содержание

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Испытания представляют инженерно-физический эксперимент, в результате которого образуется определенный массив случайных величин. Поэтому все методы обработки и интерпретации результатов испытаний являются статистическими. Одной из основных задач испытаний является задача статистической аппроксимации некоторой зависимости Y=f(X) по полученным в результате испытаний экспериментальным данным. Такая задача решается методом наименьших квадратов.

Предположим, что априори известен вид зависимости Y=f(X) в форме простейшей линейной функции

Y=aX+b (1)

Пусть имеется набор экспериментальных данных в виде массива случайных величин

[ X₁ X₂ ….X_n ] [Y₁ Y₂ …. Y_n].

Требуется найти оптимальные значения коэффициентов a,b функции (1) относительно экспериментальных данных. Введем функцию отклонения искомой прямой от экспериментальных точек

= Y_i-aX_i-b (2)

В качестве характеристики точности аппроксимации в соответствии с критерием наименьших квадратов используем выражение

_i²= min (3)

Запишем условия (3) в виде

d/da = 0 , d/db = 0 (4)

Решая систему уравнений (4), можно получить искомые значения коэффициентов a,b функции (1), оптимальные по критерию наименьших квадратов

a= [ n  (X_iY_i) -  X_i  Y_i]/ [ n  X_i² – ( X_i )²

^{i i i i i}

b=[  X_i²  Y_i -  X_i  (X_iY_i)]/ [ n  X_i² – ( X_i )² (5)

^{i i i i i i}

Таким образом получим апостериорную модель вида (1) с числовыми значениями коэффициентов, определяющими искомую прямую.

Для аппроксимации нелинейных зависимостей Y=f(X) , во-первых, можно воспользоваться способом представления их в линейной форме за счет соответствующего преобразования системы координат с последующим применением рассмотренных выше алгоритмов наименьших квадратов. Во-вторых, можно непосредственно воспользоваться алгоритмом наименьших квадратов, но при условии знания априорной математической формы Y=f(X). При этом сложность аналитических выражений для соответствующих коэффициентов функции значительно возрастает. Такой способ аппроксимации требует применения компьютерных средств. В-третьих, для неизвестной априорной формы Y=f(X) можно использовать способ полиномиальной аппроксимации с последующим применением алгоритма наименьших квадратов. Рассмотрим этот способ более подробно.

Представим произвольную функцию Y=f(X) в виде полинома

Y= a_nXⁿ + a_n-1X^n-1 + … + a₁X + a₀ (6)

Для такого полинома реализуется алгоритм наименьших квадратов в виде соотношений типа (2)-(5). Естественно, математическая форма таких соотношений будет более сложной. Поэтому для их реализации необходимо использовать компьютерные методы. Рассмотрим реализацию этого способа аппроксимации с применением компьютерной системы MATLAB. Полиномиальная аппроксимация данных измерений, которые сформированы как вектор Y, при определенных значениях аргумента, которые образуют вектор X такой же длины, что и Y, реализуется процедурами polyfit (X,Y,n )- вычисление коэффициентов полинома (6) степени n, и polyval (P,X )-расчет аппроксимирующего полинома Р.

Пример.

X=[1 2 3 4 5 6 7 8 ]

Y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1]

polyfit( X,Y,1 )

ans = 0.1143 – 0.2393

polyfit( X,Y,2 )

ans = -0.1024 1.0357 –1.7750

polyfit( X,Y,3 )

ans = 0.0177 –0.3410 1.9461 –2.6500

polyfit( X,Y,4 )

ans = -0.0044 0.0961 –0.8146 3.0326 –3.3893

Это означает, что искомую функцию можно с различной степенью точности аппроксимировать полиномами вида

Y = 0.1143X-0.2393

Y = -0.1024X²+1.0357X-1.7750

Y = 0.0177X³-0.3410X²+1.9461X-2.6500

Y = -0.0044X⁴+0.0961X³-0.8146X²+3.0326X-3.3893

Построим в одном графическом окне графики данных измерений и вычисленных аппроксимирующих полиномов (Рис.1).

x=[1 2 3 4 5 6 7 8];

y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];

P1=polyfit(x,y,1);

P2=polyfit(x,y,2);

P3=polyfit(x,y,3);

P4=polyfit(x,y,4);

x1=0.5 : 0.05 : 8.5;

y1=polyval(P1,x1);

y2=polyval(P2,x1);

y3=polyval(P3,x1);

y4=polyval(P4,x1);

plot(x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4)

Рис.1

Полиномиальная аппроксимация является универсальным инструментом решения типовых задач обработки и интерпретации результатов испытаний рассматриваемого вида. Поэтому в качестве основного алгоритма решения таких задач целесообразно использовать алгоритм наименьших квадратов для полинома 10-й степени с последующим ранжированием коэффициентов, т.е. с исключением членов аппроксимирующего полинома, имеющих пренебрежимо малое значение. В частности, для рассмотренного выше примера получим

X=[1 2 3 4 5 6 7 8];

Y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];

ans= 0.000 -0.006 0.0076 -0.0435 0.1085 0 -0.4097 0 1.5009 0

-2.2633

Ранжируя коэффициенты полинома, получим апостериорную модель Y=f(X) в виде аппроксимирующего полинома

Y=0.1085X⁶ – 0.4097X⁴ + 1.5009X² –2.2633

ЗАДАНИЯ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Подробно изучить теоретические основы метода наименьших квадратов.

2. Изучить особенности математической системы MATLAB применительно к решаемым задачам.

3. Аппроксимировать представленные результаты испытаний линейной моделью вида (1).

X= 4, 8, 12, 16, 20.

Y= 5, 7, 15, 20, 22.

Методические указания.

Решить задачу аппроксимации аналитическим способом с использованием уравнений (5).

Решить задачу аппроксимации компьютерным способом в системе MATLAB для полинома первой степени (polyfit(X,Y,1)).

Сравнить результаты аналитической и компьютерной аппроксимаций.

3. Изучить алгоритм и программы аппроксимации системы MATLAB.

Методические указания.

Типичный алгоритм статистической аппроксимации функциональных моделей испытаний РЭС и ЭВС, реализующий метод наименьших квадратов, представлен на Рис.2.

Задание массива исходных данных Z(x)

Задание параметров шума W

Задание аппроксимационой модели Y(x)

Z(x)+W

Cравнение априорных и апостериорных данных Y(x)=Z(x)+W

Графический анализ Y(x)

Линеаризация Y(x) - U(v)

Графический анализ U(v)

Вычисление параметров U(v)

Вычисление погрешности аппроксимаци

Обратный переход U(v) – Y(x)

Вычисление параметров Y(x)

Графический анализ Y(x)

Вычисление погрешности аппроксимации

END

Рис.2.

Программная реализация данного алгоритма в учебном процессе предусматривает диалоговый режим работы с непосредственным, последовательным вводом соответствующих команд и анализом конечного и промежуточных результатов. Поэтому алгоритм обладает следующими особенностями. Во-первых, предусмотрена возможность произвольного (варьируемого) задания исходных данных – результатов испытаний, параметров шума, математической формы априорной (аппроксимирующей) модели. Во-вторых, реализована возможность задания и последующего сравнения по критерию точности (наименьших квадратов) нескольких аппроксимирующих функций с целью выбора оптимального варианта аппроксимации. В-третьих, предусмотрены графические средства визуализации конечного и основных промежуточных результатов аппроксимации с целью наглядного (визуального) представления и контроля вычислительного процесса. В-четвертых, структура вычислительного процесса соответствует математической схеме реализации метода наименьших квадратов.

Для программной реализации разработанного алгоритма необходимо воспользоваться рассмотренными ранее функциями системы Matlab – plot, normrnd, sum, polyfit. В качестве примера выберем для реализации на первом этапе в качестве аппроксимирующей модели гиперболическую зависимость вида y = a₀ + a₁/x, а на втором этапе для сравнения моделей по критерию точности – зависимость вида y = 1/(c₀ + c₁e^-x). Учитывая специфическую (не полиномиальную) математическую форму априорных моделей аппроксимации, для унификации и упрощения программной реализации рассматриваемого алгоритма используем специальную функцию системы Matlab – inline. Данная функция представляет определенный класс объектов Matlab, предназначенный для создания и использования в программах математических функций, заданных в символьном виде. При обращении вида

F = inline (‘математическое выражение’, ‘имя1’, ‘имя2’, …) создается заданная функция с параметрами ‘имя1’, ‘имя2’,… . Для вычисления значения функции, представленной как inline-объект, достаточно после указания математической формы функции задать в скобках значения ее аргументов и параметров в численном виде. Текст программы представлен ниже.

n=10;

X=1:10

a0=2; a1=-1; mu=0; sigma=0.1;

y=inline('a0+a1*1./x','x','a0','a1');

Z=y(X,a0,a1);

W=normrnd(mu,sigma,1,n);

Y=Z+W;

x1=X(1):0.1:X(n); y1=y(x1,a0,a1);

plot(X,Y,'bo',x1,y1,'r'), pause

U=1./X; V=Y;

plot(U,V,'bo',U,Z,'r'), pause

Mu=1/n*sum(U)

Mv=1/n*sum(V)

Kuv=1/n*sum((U-Mu).*(V-Mv))

S2=1/n*sum((U-Mu).^2)

b1=Kuv/S2, b0=Mv-b1*Mu

delta=sum((V-(b0+b1*U)).^2)

ae0=b0, ae1=b1

delta1=sum((Y-y(X,ae0,ae1)).^2)

y2=y(x1,ae0,ae1);

plot(X,Y,'bo',x1,y1,'r',x1,y2,'k'), pause

phi2=inline('1./(c1+c2*exp(-x))','x','c2','c1');

U=exp(-X); V=1./Y;

c=polyfit(U,V,1)

delta2=sum((Y-phi2(X,c(1),c(2))).^2)

y3=phi2(x1,c(1),c(2));

plot(X,Y,'bo',x1,y1,'r',x1,y3,'k')

Представленная программная реализация алгоритма статистической аппроксимации функциональных моделей испытаний РЭС и ЭВС (метод наименьших квадратов) на платформе математической системы Matlab подразумевает диалоговый режим работы. Для усиления эффекта этого режима на каждом этапе графического (визуального) анализа после команды plot включена команда pause, которая предусматривает принудительное прерывание вычислительного процесса до момента очередного нажатия клавиши Enter. Диалоговый режим работы программы включает возможности произвольного задания массива исходных данных, параметров шума (помех экспериментальных данных), математической формы априорных (аппроксимационных) моделей.

4. Аппроксимировать результаты испытаний, представленные в Табл.1, методом наименьших квадратов для полинома 10-й степени в системе MATLAB и построить график заданных точек и полинома. Провести ранжирование коэффициентов полинома и представить окончательную апостериорную модель зависимости Y=f(X).

Методические указания.

При решении задачи использовать рассмотренные выше функции polyfit и polyval системы MATLAB.

Таблица 1

1	х	-1	-0,55	-0,1	-,35	0,8	1,25	1,7	2,15	2,6	3,05
	у	-6,78	-6,56	-6,14	-5,31	-3,68	-0,85	5,81	18,15	42,4	90,03
2	х	0,01	0,56	1,11	1,66	2,21	2,28	3,3	3,85	4,4	4,95
	у	34,23	5,97	1,28	-1,54	-3,54	-5,09	-6,36	-7,44	-8,37	-9,2
3	х	-2	-1,6	-1,2	-0,8	-0,4	0	0,4	0,8	1,2	1,6
	у	16	10,24	5,76	2,56	0,53	0	0,64	2,56	5,76	10,24
4	х	0,3	1,57	2,84	4,11	5,38	6,65	7,92	9,19	10,46	11,73
	у	15,33	4,55	3,41	2,97	2,74	2,6	2,59	2,44	2,38	2,34
5	х	-3,5	-2,65	-1,8	-0,95	-0,1	0,75	1,6	2,45	3,3	4,15
	у	0,01	0,03	0,07	0,12	0,19	0,2	0,29	0,31	0,325	0,33
6	х	0,15	0,94	1,72	2,51	3,29	4,08	4,86	5,65	6,43	7,22
	у	-9,69	-4,2	-2,37	-1,25	-0,43	0,21	0,74	1,3	1,58	1,93
7	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,675	3,14	3,605	4,07	4,535
	у	6,86	5,23	4,78	4,57	4,45	4,37	4,35	4,28	4,25	4,22
8	х	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8
	у	4,14	4,2	4,3	4,45	4,67	5	5,49	6,85	7,32	8,95
9	х	2	2,3	2,6	2,9	3,2	3,5	3,8	4,1	4,4	4,7
	у	2,67	4,06	6,16	8,13	10,92	14,29	18,29	22,97	28,39	34,6
10	х	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	у	0,01	0,02	0,05	0,11	0,21	0,38	0,42	0,47	0,49	0,5
11	х	0,95	1,21	1,47	1,74	2,0	2,26	2,52	2,78	3,05	3,31
	у	8,16	3,39	2,19	1,34	0,88	0,61	0,54	0,33	0,28	0,19
12	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,68	3,14	3,61	4,07	4,535
	у	16,99	8,83	6,61	5,56	4,96	4,62	4,29	4,09	3,93	3,8
13	х	-1,7	-1,43	-1,16	-0,89	-0,62	-0,35	-0,08	0,19	0,46	0,73
	у	26,96	14,46	7,17	2,92	0,45	-0,98	-1,35	-2,31	-2,6	-2,77
14	х	-5	-3,5	-2	-0,5	1	2,5	4	5,5	7	8,5
	у	0	0,01	0,06	0,28	0,87	2,05	2,92	3,23	3,31	3,33
15	х	-2	-1,4	-0,8	-0,2	0,4	1,0	1,6	2,2	2,8	3,4
	у	6,8	3,33	1,09	0,02	0,27	1,7	4,35	8,23	13,33	19,65
16	х	0,4	0,86	1,32	1,78	2,24	2,7	3,16	3,62	4,08	4,54
	у	-20,5	-11,2	-8,3	-6,93	-6,5	-5,59	-5,3	-4,93	-4,83	-4,54
17	х	0,01	0,51	1,01	1,52	2,01	2,51	3,0	3,05	4,0	4,5
	у	-1,14	2,39	3,01	3,37	3,63	3,83	3,99	4,13	4,25	4,35
18	х	-5	-3,91	-2,82	-1,73	-0,64	0,45	1,54	2,63	3,72	4,81
	у	0	-0,01	-0,01	-0,03	-0,07	-0,18	-0,2	-0,23	-0,24	-0,25
19	х	-2,1	-1,79	-1,48	-1,17	-0,86	-0,55	-0,24	0,07	0,38	0,69
	у	0,28	0,29	0,3	0,32	0,36	0,48	0,78	1,52	3,41	8,21
20	х	0,01	0,53	1,05	1,57	2,09	2,61	3,12	3,64	4,16	4,68
	у	15,22	3,31	1,26	0,05	-0,81	-1,74	-2,17	-2,48	-2,88	-3,23
21	х	0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6
	у	0,3	7,5	11,37	14,5	17,24	19,9	21,98	24,11	26,12	28,04
22	х	-4	-3,01	-2,02	-1,03	-0,04	0,95	1,94	2,93	3,92	4,91
	у	-0,02	-0,05	-0,12	-0,26	-0,49	-0,72	-0,87	-0,94	-0,98	-0,99
23	х	0,4	0,81	1,22	1,5	2,04	2,45	2,86	3,27	3,68	4,09
	у	1,8	0,53	0,12	-0,09	-0,21	-0,31	-0,35	-0,39	-0,43	-0,46
24	х	-1	-0,72	-0,44	-0,17	0,12	0,39	0,67	0,95	1,22	1,5
	у	-4,95	-4,89	-4,74	-4,39	-3,6	-1,93	2,42	12,08	34,33	85,55
25	х	0,01	0,51	1,01	1,51	2,01	2,51	3,01	3,51	4,01	4,51
	у	-4,76	2,29	3,52	4,24	4,76	5,06	5,48	5,76	6,0	6,21
26	х	-5	-3,95	-2,9	-1,85	-0,8	0,25	1,3	2,35	3,4	4,45
	у	-0,01	-0,03	-0,8	-0,2	-0,49	-0,96	-1,45	-1,76	-1,91	-1,97
27	х	0,5	1,4	2,3	3,2	4,1	5,0	5,9	6,8	7,7	8,6
	у	2,41	3,32	4,1	4,3	4,64	4,94	5,0	5,43	5,64	5,84
28	х	0,11	0,499	0,89	1,28	1,67	2,055	2,44	2,83	3,22	3,61
	у	6,27	0,6	-0,1	-0,37	-0,52	-0,61	-0,67	-0,69	-0,75	-0,78
29	х	0,01	0,59	1,17	1,75	2,33	2,91	3,48	4,06	4,64	5,22
	у	8,82	-3,41	-5,93	-6,67	-7,53	-8,2	-8,74	-9,15	-9,61	-9,96
30	х	-2	-1,62	-1,24	-0,87	-0,49	-0,11	0,27	0,65	1,02	1,4
	у	37,63	19,33	10,19	5,55	3,21	2,02	1,64	1,11	0,96	0,88