metody_i_sreedstva_ispytaniy(2736) / МУИ 2-ЛР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Кафедра ПР-7 «Персональная электроника»

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ПР-7

___ (Сахаров Ю.С.)

«___»_______2012г.

Для студентов 5 курса факультета ПР специальности 210201

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по лабораторным (практическим) занятиям

по дисциплине 2736 «Методы и устройства испытаний электронных средств»

Обсуждены на заседании кафедры

«__»___________2012г.

Протокол № __

МГУПИ – 2012г.

Лабораторные работы №1,2

Метод наименьших квадратов в задачах испытаний

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучение способов аппроксимации результатов испытаний методом наименьших квадратов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Испытания представляют инженерно-физический эксперимент, в результате которого образуется определенный массив случайных величин. Поэтому все методы обработки и интерпретации результатов испытаний являются статистическими. Одной из основных задач испытаний является задача статистической аппроксимации некоторой зависимости Y=f(X) по полученным в результате испытаний экспериментальным данным. Такая задача решается методом наименьших квадратов.

Предположим, что априори известен вид зависимости Y=f(X) в форме простейшей линейной функции

Y=aX+b (1)

Пусть имеется набор экспериментальных данных в виде массива случайных величин

[ X₁ X₂ ….X_n ] [Y₁ Y₂ …. Y_n].

Требуется найти оптимальные значения коэффициентов a,b функции (1) относительно экспериментальных данных. Введем функцию отклонения искомой прямой от экспериментальных точек

= Y_i-aX_i-b (2)

В качестве характеристики точности аппроксимации в соответствии с критерием наименьших квадратов используем выражение

_i²= min (3)

Запишем условия (3) в виде

d/da = 0 , d/db = 0 (4)

Решая систему уравнений (4), можно получить искомые значения коэффициентов a,b функции (1), оптимальные по критерию наименьших квадратов

a= [ n  (X_iY_i) -  X_i  Y_i]/ [ n  X_i² – ( X_i )²

^{i i i i i}

b=[  X_i²  Y_i -  X_i  (X_iY_i)]/ [ n  X_i² – ( X_i )² (5)

^{i i i i i i}

Таким образом получим апостериорную модель вида (1) с числовыми значениями коэффициентов, определяющими искомую прямую.

Рассмотренный аналитический способ аппроксимации не является единственным. Для линейных моделей вида (1) существует достаточно простой графический способ (способ Асковица ). Применение этого способа возможно при выполнении условия равенства интервалов d между измеряемыми значениями аргумента X функции (1). Для реализации этого способа необходимо пронумеровать экспериментальные точки Y_i(X_i) по возрастающим значениям X_i. Далее соединим точки 1 и 2 отрезком прямой. Двигаясь в сторону точки 2, спроектируем величину 2/3d по оси X на этот отрезок. Соединим полученную точку с точкой 3 опять отрезком прямой. Двигаясь в сторону точки 3, спроектируем величину 2/3d по оси X от полученной точки на вновь отложенный отрезок. Данная процедура повторяется до получения последней возможной точки проекции 2/3d на соответствующий (последний ) отрезок прямой, соединяющей предпоследнюю проекционную точку с последней экспериментальной точкой. Последняя проекционная точка лежит на прямой наименьших квадратов. Далее необходимо повторить все процедуры, начиная с последней экспериментальной точки и двигаясь в сторону точки 1. Последняя проекционная точка этих процедур также лежит на прямой наименьших квадратов. Остается соединить полученные две конечные точки прямой, которая, таким образом, является прямой наименьших квадратов. Далее по полученной графической прямой обычным способом можно определить числовые значения коэффициентов a,b функции (1).

Для аппроксимации нелинейных зависимостей Y=f(X) , во-первых, можно воспользоваться способом представления их в линейной форме за счет соответствующего преобразования системы координат с последующим применением рассмотренных выше алгоритмов наименьших квадратов. Во-вторых, можно непосредственно воспользоваться алгоритмом наименьших квадратов, но при условии знания априорной математической формы Y=f(X). При этом сложность аналитических выражений для соответствующих коэффициентов функции значительно возрастает. Такой способ аппроксимации требует применения компьютерных средств. В-третьих, для неизвестной априорной формы Y=f(X) можно использовать способ полиномиальной аппроксимации с последующим применением алгоритма наименьших квадратов. Рассмотрим этот способ более подробно.

Представим произвольную функцию Y=f(X) в виде полинома

Y= a_nXⁿ + a_n-1X^n-1 + … + a₁X + a₀ (6)

Для такого полинома реализуется алгоритм наименьших квадратов в виде соотношений типа (2)-(5). Естественно, математическая форма таких соотношений будет более сложной. Поэтому для их реализации необходимо использовать компьютерные методы. Рассмотрим реализацию этого способа аппроксимации с применением компьютерной системы MATLAB. Полиномиальная аппроксимация данных измерений, которые сформированы как вектор Y, при определенных значениях аргумента, которые образуют вектор X такой же длины, что и Y, реализуется процедурами polyfit (X,Y,n )- вычисление коэффициентов полинома (6) степени n, и polyval (P,X )-расчет аппроксимирующего полинома Р.

Пример.

X=[1 2 3 4 5 6 7 8 ]

Y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1]

polyfit( X,Y,1 )

ans = 0.1143 – 0.2393

polyfit( X,Y,2 )

ans = -0.1024 1.0357 –1.7750

polyfit( X,Y,3 )

ans = 0.0177 –0.3410 1.9461 –2.6500

polyfit( X,Y,4 )

ans = -0.0044 0.0961 –0.8146 3.0326 –3.3893

Это означает, что искомую функцию можно с различной степенью точности аппроксимировать полиномами вида

Y = 0.1143X-0.2393

Y = -0.1024X²+1.0357X-1.7750

Y = 0.0177X³-0.3410X²+1.9461X-2.6500

Y = -0.0044X⁴+0.0961X³-0.8146X²+3.0326X-3.3893

Построим в одном графическом окне графики данных измерений и вычисленных аппроксимирующих полиномов (Рис.1).

x=[1 2 3 4 5 6 7 8];

y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];

P1=polyfit(x,y,1);

P2=polyfit(x,y,2);

P3=polyfit(x,y,3);

P4=polyfit(x,y,4);

x1=0.5 : 0.05 : 8.5;

y1=polyval(P1,x1);

y2=polyval(P2,x1);

y3=polyval(P3,x1);

y4=polyval(P4,x1);

plot(x1,y1,x1,y2,x1,y3,x1,y4)

Рис.1

Полиномиальная аппроксимация является универсальным инструментом решения типовых задач обработки и интерпретации результатов испытаний рассматриваемого вида. Поэтому в качестве основного алгоритма решения таких задач целесообразно использовать алгоритм наименьших квадратов для полинома 10-й степени с последующим ранжированием коэффициентов, т.е. с исключением членов аппроксимирующего полинома, имеющих пренебрежимо малое значение. В частности, для рассмотренного выше примера получим

X=[1 2 3 4 5 6 7 8];

Y=[-1.1 0.2 0.5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.1];

ans= 0.000 -0.006 0.0076 -0.0435 0.1085 0 -0.4097 0 1.5009 0

-2.2633

Ранжируя коэффициенты полинома, получим апостериорную модель Y=f(X) в виде аппроксимирующего полинома

Y=0.1085X⁶ – 0.4097X⁴ + 1.5009X² –2.2633

ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ 1

Аппроксимировать представленные результаты испытаний линейной моделью вида (1).

X= 4, 8, 12, 16, 20.

Y= 5, 7, 15, 20, 22.

Методические указания.

1. Решить задачу аппроксимации аналитическим способом с использованием уравнений (5).

2. Решить задачу аппроксимации графическим способом (способом Асковица).

3. Решить задачу аппроксимации компьютерным способом в системе MATLAB для полинома первой степени (polyfit(X,Y,1)).

4. Сравнить результаты аналитической, графической и компьютерной аппроксимаций.

ЗАДАНИЕ 2

Изучить методы и программы полиномиальной аппроксимации системы MATLAB. Аппроксимировать результаты испытаний, представленные в Табл.1 ( варианты по заданию преподавателя ), методом наименьших квадратов для полинома 10-й степени в системе MATLAB и построить график заданных точек и полинома. Провести ранжирование коэффициентов полинома и представить окончательную апостериорную модель зависимости Y=f(X).

Методические указания.

При решении задачи использовать функции polyfit и polyval системы MATLAB (по аналогии с рассмотренным выше примером). В отчете представить результаты выполнения заданий 1,2 и выводы по этим результатам.

Таблица 1

1	х	-1	-0,55	-0,1	-,35	0,8	1,25	1,7	2,15	2,6	3,05
	у	-6,78	-6,56	-6,14	-5,31	-3,68	-0,85	5,81	18,15	42,4	90,03
2	х	0,01	0,56	1,11	1,66	2,21	2,28	3,3	3,85	4,4	4,95
	у	34,23	5,97	1,28	-1,54	-3,54	-5,09	-6,36	-7,44	-8,37	-9,2
3	х	-2	-1,6	-1,2	-0,8	-0,4	0	0,4	0,8	1,2	1,6
	у	16	10,24	5,76	2,56	0,53	0	0,64	2,56	5,76	10,24
4	х	0,3	1,57	2,84	4,11	5,38	6,65	7,92	9,19	10,46	11,73
	у	15,33	4,55	3,41	2,97	2,74	2,6	2,59	2,44	2,38	2,34
5	х	-3,5	-2,65	-1,8	-0,95	-0,1	0,75	1,6	2,45	3,3	4,15
	у	0,01	0,03	0,07	0,12	0,19	0,2	0,29	0,31	0,325	0,33
6	х	0,15	0,94	1,72	2,51	3,29	4,08	4,86	5,65	6,43	7,22
	у	-9,69	-4,2	-2,37	-1,25	-0,43	0,21	0,74	1,3	1,58	1,93
7	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,675	3,14	3,605	4,07	4,535
	у	6,86	5,23	4,78	4,57	4,45	4,37	4,35	4,28	4,25	4,22
8	х	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8
	у	4,14	4,2	4,3	4,45	4,67	5	5,49	6,85	7,32	8,95
9	х	2	2,3	2,6	2,9	3,2	3,5	3,8	4,1	4,4	4,7
	у	2,67	4,06	6,16	8,13	10,92	14,29	18,29	22,97	28,39	34,6
10	х	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
	у	0,01	0,02	0,05	0,11	0,21	0,38	0,42	0,47	0,49	0,5
11	х	0,95	1,21	1,47	1,74	2,0	2,26	2,52	2,78	3,05	3,31
	у	8,16	3,39	2,19	1,34	0,88	0,61	0,54	0,33	0,28	0,19
12	х	0,35	0,82	1,28	1,75	2,21	2,68	3,14	3,61	4,07	4,535
	у	16,99	8,83	6,61	5,56	4,96	4,62	4,29	4,09	3,93	3,8
13	х	-1,7	-1,43	-1,16	-0,89	-0,62	-0,35	-0,08	0,19	0,46	0,73
	у	26,96	14,46	7,17	2,92	0,45	-0,98	-1,35	-2,31	-2,6	-2,77
14	х	-5	-3,5	-2	-0,5	1	2,5	4	5,5	7	8,5
	у	0	0,01	0,06	0,28	0,87	2,05	2,92	3,23	3,31	3,33
15	х	-2	-1,4	-0,8	-0,2	0,4	1,0	1,6	2,2	2,8	3,4
	у	6,8	3,33	1,09	0,02	0,27	1,7	4,35	8,23	13,33	19,65
16	х	0,4	0,86	1,32	1,78	2,24	2,7	3,16	3,62	4,08	4,54
	у	-20,5	-11,2	-8,3	-6,93	-6,5	-5,59	-5,3	-4,93	-4,83	-4,54
17	х	0,01	0,51	1,01	1,52	2,01	2,51	3,0	3,05	4,0	4,5
	у	-1,14	2,39	3,01	3,37	3,63	3,83	3,99	4,13	4,25	4,35
18	х	-5	-3,91	-2,82	-1,73	-0,64	0,45	1,54	2,63	3,72	4,81
	у	0	-0,01	-0,01	-0,03	-0,07	-0,18	-0,2	-0,23	-0,24	-0,25
19	х	-2,1	-1,79	-1,48	-1,17	-0,86	-0,55	-0,24	0,07	0,38	0,69
	у	0,28	0,29	0,3	0,32	0,36	0,48	0,78	1,52	3,41	8,21
20	х	0,01	0,53	1,05	1,57	2,09	2,61	3,12	3,64	4,16	4,68
	у	15,22	3,31	1,26	0,05	-0,81	-1,74	-2,17	-2,48	-2,88	-3,23
21	х	0	0,4	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	2,8	3,2	3,6
	у	0,3	7,5	11,37	14,5	17,24	19,9	21,98	24,11	26,12	28,04
22	х	-4	-3,01	-2,02	-1,03	-0,04	0,95	1,94	2,93	3,92	4,91
	у	-0,02	-0,05	-0,12	-0,26	-0,49	-0,72	-0,87	-0,94	-0,98	-0,99
23	х	0,4	0,81	1,22	1,5	2,04	2,45	2,86	3,27	3,68	4,09
	у	1,8	0,53	0,12	-0,09	-0,21	-0,31	-0,35	-0,39	-0,43	-0,46
24	х	-1	-0,72	-0,44	-0,17	0,12	0,39	0,67	0,95	1,22	1,5
	у	-4,95	-4,89	-4,74	-4,39	-3,6	-1,93	2,42	12,08	34,33	85,55
25	х	0,01	0,51	1,01	1,51	2,01	2,51	3,01	3,51	4,01	4,51
	у	-4,76	2,29	3,52	4,24	4,76	5,06	5,48	5,76	6,0	6,21
26	х	-5	-3,95	-2,9	-1,85	-0,8	0,25	1,3	2,35	3,4	4,45
	у	-0,01	-0,03	-0,8	-0,2	-0,49	-0,96	-1,45	-1,76	-1,91	-1,97
27	х	0,5	1,4	2,3	3,2	4,1	5,0	5,9	6,8	7,7	8,6
	у	2,41	3,32	4,1	4,3	4,64	4,94	5,0	5,43	5,64	5,84
28	х	0,11	0,499	0,89	1,28	1,67	2,055	2,44	2,83	3,22	3,61
	у	6,27	0,6	-0,1	-0,37	-0,52	-0,61	-0,67	-0,69	-0,75	-0,78
29	х	0,01	0,59	1,17	1,75	2,33	2,91	3,48	4,06	4,64	5,22
	у	8,82	-3,41	-5,93	-6,67	-7,53	-8,2	-8,74	-9,15	-9,61	-9,96
30	х	-2	-1,62	-1,24	-0,87	-0,49	-0,11	0,27	0,65	1,02	1,4
	у	37,63	19,33	10,19	5,55	3,21	2,02	1,64	1,11	0,96	0,88