1. Методические указания

Сущность метода частотных характеристик заключается в том, что на вход исследуемой системы подается гармонический сигнал (си- нусоидальные колебания) в широком диапазоне частот. Реакция си- стемы при разных частотах позволяет судить о ее динамических свой- ствах.

Пусть входной сигнал системы имеет амплитуду a и частоту , т. е.

описывается формулой

x  a sin(t).

Выходной сигнал будет иметь амплитуду А₁ и отличаться от вход- ного по фазе на величину  (фазовый сдвиг):

y  A₁ sin(t  ).

Таким образом, можно рассчитать усиление по амплитуде

_{A } ^A1 _.

^a

для каждой частоты входного сигнала  будут свои A и .

Изменяя  в широком диапазоне, можно получить зависимость A() – амплитудную частотную характеристику (АЧХ) и () – фазо- вую частотную характеристику (ФЧХ).

Главное достоинство метода частотных характеристик заключа- ется в том, что АЧХ и ФЧХ объекта могут быть получены экспери- ментально. для этого необходимо иметь генератор гармонических колебаний, который подключается к входу объекта, и измеритель- ную аппаратуру для измерения амплитуды и фазового сдвига колеба- ний на выходе объекта.

Частотные характеристики САУ могут быть получены по ее ПФ W(s). для суждения о реакции звена на синусоидальный сигнал дос- таточно исследовать его реакцию на гармонический сигнал вида [1]

x(j)  e^jt .

Тогда выходной сигнал

^{   } 

_{j t  }

^{y(j)  A()e ,}

17

и частотная ПФ

_{W(j) } ^y(j) _{ A()e}^j() _.

^x(j)

Формально для получения частотной ПФ надо сделать в W(s) под- становку s = j , и тогда полученная W(j) является комплексным выражением, которое можно представить в виде:

_{W(j) } ^{a1 ()  jb1 () .}

^a₂ ^{()  jb}₂ ^()

для нахождения вещественной и мнимой частей частотной пере- даточной функции необходимо домножить числитель и знаменатель на сопряженную знаменателю величину, а затем провести разделе- ние:

_{W(j) } ^{a1 ()  jb1 ()} _ ^{(a1 ()  jb1 ()) (a2 ()  jb2 ())} _

^a₂ ^{()  jb}₂ ^{() (a}₁ ^{()  jb}₂ ^{()) (a}₂ ^{()  jb}₂ ^())

1 2 1 2 2 1 1 2

_{a ()a ()  b ()b () a ()b ()  a ()b ()}

_{  j }

_a2 _{()  b}2 _()

_a2 _{()  b}2 _()

2 2 2 2

_{ U()  jV ()  A()  e}^j() _,

где

_{A()  W(j) }

_U² _{()  V} ² _{() }

1

_a² _{ b}²

¹ _,

2 2

a²  b²

_{()  arg(W(j))  arctg ⎡ V () ⎤  arctg ⎡ b1 ⎤  arctg ⎡ b2 ⎤.}

_{⎢U() ⎥}

_{⎢ a ⎥ ⎢ a ⎥}

^{⎣ ⎦} ⎣

1 ⎦ ⎣ 2 ⎦

Графики функций U() и V() называют соответственно веще- ственной и мнимой частотной характеристиками.

В практических расчетах удобно применять графики частотных характеристик, построенных в логарифмическом масштабе – лога- рифмические частотные характеристики (ЛЧХ).

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика

(ЛАЧХ) определяется следующим выражением:

L() = 20 lgA().

18

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) называется график зависимости (), построенный в логарифмичес- ком масштабе частот.

Единицей L() является децибел (дБ), а единицей логарифма часто- ты – декада. Декадой называют интервал частот, на котором частота изменяется в 10 раз. При изменении частоты в 10 раз говорят, что она изменилась на одну декаду. Ось ординат при построении ЛЧХ проводят через произвольную точку, а не через точку  = 0. Частоте  = 0 соответ- ствует бесконечно удаленная точка: lg  – при   0.

Основное преимущество использования ЛЧХ заключается в том, что приближенные (асимптотические) ЛАЧХ типовых динамических звеньев изображаются отрезками прямых.

Пример. Построим ЛЧХ апериодического звена первого порядка. Передаточная функция звена

_{W s } ^{k .}

^{Ts  1}

Частотная передаточная функция

^W  ^j ^

k

Tj 1

_{k1  Tj}

_{ ,}

^{T2  1}

_{U } ^k

_{, V }

^kT _.

^T^{2  1}

^T^{2  1}

Следовательно, АЧХ описывается формулой

^A ^ ^

ФЧХ строится по формуле

^k _,

^T^{2  1}

^ ^ ^{ arctg(T).}

ЛАЧХ апериодического звена 1-го порядка

^L^ ^{ 20lg k  20lg}

^T^{2  1.}

По этой формуле можно построить две асимптоты – прямые, к которым стремится ЛАЧХ при   0 и   . Так, при   0 второе слагаемое близко к нулю, и этот участок ЛАЧХ представляет собой горизонтальную прямую

^L^ ^{ 20lg k.}

19

При    получаем наклонную прямую:

^L^ ^{ 20lg}

^T^{2  1  .}

для определения наклона этой прямой можно рассмотреть грани- цы декады:

_ ¹ _{и } ¹⁰ _.

T T

Изменение ЛАЧХ между этими точками:

_{L   20lg}

2

_{⎛ T 10 ⎞}

_{ 1  20lg}

2

_{⎛ T 1 ⎞}

_{ 1  20 (дБ/дек).}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

⎝ ^T ⎠ ⎝ ^T ⎠

ЛЧХ часто называют диаграммами Боде.