1. Методические указания

Метод модального управления предполагает, что все компоненты вектора состояния X могут быть измерены. Однако на практике не- которые компоненты могут быть неизвестны по одной из двух при- чин:

– измерительных приборов может быть недостаточно;

– некоторые компоненты вектора X могут не иметь физического смысла.

Однако если система является наблюдаемой, то все компоненты вектора X могут быть восстановлены по наблюдениям вектора Y.

Система, описываемая матрицами А и С, является наблюдаемой тогда и только тогда, когда существует конечное время Т такое, что начальное состояние X(0) может быть определено в результате на- блюдения выходной переменной y(t), tОТ при заданном управлении u(t).

Наблюдаемость системы описывается условием:

_{rank С;}

_СA;

_CA2 _{; ...}

_CAn

_{1 }^Т _{ n.}

⎣ ⎦

для системы с одним входом и одним выходом матрица управляе-

мости (размером n  n) имеет вид:

_С;

_СA;

_СA2 _{; ...}

Т

_СAn1 _{ .}

⎣ ⎦

Если детерминант этой матрицы отличен от нуля, то система на- блюдаема.

для того чтобы узнать все компоненты вектора состояния объек- та, можно использовать его модель

_dX(t)

_{ AX(t)  BU(t),}

где

dt

X(t)  ^{оценка состояния объекта.}

Если начальное состояние объекта и модели совпадают и модель адекватна объекту, то можно полагать в любой момент времени,что

X(t)  X(t).

56

Однако практически добиться полной адекватности объекта и модели невозможно, невозможно может быть и полное равенство на- чальных условий. Поэтому на практике можно рассчитывать лишь на выполнение условия

_{lim X(t)  X(t).}

t

Подобным свойством обладают так называемые асимптотические наблюдающие устройства.

Асимптотическое наблюдающее устройство использует обратную связь по ошибке восстановления вектора состояния, так что работа наблюдающего устройства описывается уравнением

_dX(t)

_{ AX(t)  BU(t)  N(Y  CX(t)),}

dt

где N – матрица параметров наблюдающего устройства.

Общий вид системы управления с наблюдателем показан на рис.1.

^

_Xt

Y (t)

X _t _

^

Y (t)

^X ^t 

Рис. 1. Структура системы управления с наблюдателем

Параметры наблюдателя и параметры регулятора могут рассчи- тываться независимо.

Понятно, что процессы в наблюдателе должны протекать более быстро, чем переходный процесс в системе. Эмпирически установле-

57

Рис. 2 Моделирование работы наблюдателя в Simulink MatLab

но (см. [5]), что наблюдатель должен обладать быстродействием, в

2–4 раза превышающим быстродействие системы.