Пособие 14 W2003

1. Элементы векторного анализа

Электромагнитное поле характеризуется силами, действующими на электрические заряды. Поскольку сила – векторная величина, для математического описания ЭМ полей используется аппарат векторного анализа. С его помощью проводится математическое моделирование ЭМ полей, как скалярных, так и векторных.

Графически векторное поле может быть представлено в виде набора их силовых линий. В каждой точке силовой линии вектор поля касателен к ней.

Уравнение линии вектора А записывается в виде векторного произведения:

Основные операции векторного анализа для прямоугольной (декартовой) системы координат.

Градиент – векторная характеристика скалярной функции U.

Здесь: U - скалярная функция, заданная в системе координат x, y, z;

Вектор gradU направлен в сторону наискорейшего возрастания скалярной функции (по нормали к линии (или поверхности) уровня U(x,y,z)=const) и равный по величине ее производной в этом направлении.

Дивергенция характеризует изменение полного потока вектора A через замкнутую поверхность, ограничивающую заданный объем V. Положительный знак дивергенции указывает на наличие источника в объеме V, отрицательный –

4

стока. При неизменности потока (отсутствии в заданном объеме V источников/стоков) divA 0 .

Ротор (вихрь) - векторная характеристика векторной функции A .

Ротор векторного поля A – векторная характеристика “вращательной составляющей“ поля A . Если рассматривать A как поле скоростей потока жидкости, то ротор поля A равен скорости вращения конца лопасти крыльчатки, установленной в этом потоке жидкости, ось вращения которой совпадает с направлением движения потока.

Дифференциальные операция со скалярными и векторными полями удобно записывать с помощью символического векторного оператора Гамильтона . Символическое умножение на него скалярной или векторной функции означает дифференцирование по координатным составляющим. В декартовой системе координат оператор Гамильтона записывается как

С его помощью основные операции векторного анализа записываются как: gradU U - умножение вектора на скалярную величину,

divA A - скалярное произведение двух векторов,

rotA A - векторное произведение двух векторов.

Дифференциальные векторные операции второго порядка записываются с помощью оператора 2 - так называемого Набла квадрат. В декартовой системе координат этот символический оператор второго порядка записывается как

Примеры решения задач

1.1. Найти уравнение линии вектора A 1x1x 1y 1y .

5

x2 y2 R2 . Это семейство окружностей радиуса R с центрами, лежащими на оси z.

Найти ротор и дивергенцию векторных полей:

B= 6z21x +5z1y +10y21z

Решение. Для этого воспользуемся (1.3) и (1.4):

divA= -2a sin ax; rotA= -3b sin 2bz1x ; divB= 0; rotB= (20y-5z)1x +12z1y.

Исследовать характер поля вектораC :

C=cos(z/ )1z

Если поле имеет скалярный потенциал U, то определить его при условии U=0 при х=0.

Решение. Для определения характера поля необходимо найти его ротор и дивергенцию.

Согласно (1.3) и (1.4)

; rotC 0

Последнее означает, что поле имеет скалярный потенциал, что следует из векторного тождества:

rot grad U 0

При этом скалярный потенциал определяется выражением (1.2):

C gradU

или, с учетом того, что поле имеет только одну проекцию Сz,

cos(z/ )1Z = +dU/dz 1Z

Определим значение U, интегрируя полученный результат

U cos(z/ )dz const sin(z/ ) const

Так как по условию U=0 при x=0, то, получаем:

6

const=π и, окончательно,

U (1 sin z ).

2. Основные законы электромагнетизма

Классическая теория электромагнитного поля базируется на уравнениях Максвелла, сформированных им на основе имевшихся к тому времени данных многочисленных экспериментальных исследований электрических и магнитных явлений.

Система уравнений Максвелла в интегральной форме:

3. DdS dV ;

S V

4.BdS 0

S

В дифференциальной форме:

3.divD ;

4.divB 0

Косновным уравнениям электромагнитного поля относится также уравнение непрерывности тока:

в интегральной форме:

в дифференциальной форме:

Принятые обозначения:

E - вектор напряженности электрического поля, В/м;

7

H - вектор напряженности магнитного поля, А/м;

D - вектор электрического смещения (электрической индукции), Кл/м2;

B- вектор магнитной индукции, Тл;

- удельная проводимость вещества, См/м;

- объемная плотность электрического заряда, Кл/м3;

Jст.э - вектор плотности стороннего электрического тока, А/м2.

Правая часть первого уравнения Максвелла есть сумма токов различной природы. Выражение

определяет сумму плотности тока смещения Jсм и поляризационного тока Jпол . Плотность тока проводимости определяется как

Jпр E .

Материальные уравнения для электрического и магнитного полей:

- определяют соотношения между векторами индукции и напряженности поля через абсолютные диэлектрическую a и магнитную a проницаемости сред.

На практике обычно используются значения относительной (безразмерной величины) проницаемости среды: диэлектрической - a 0 , и магнитной - a 0 , где

- соответствующие проницаемости вакуума.

Проницаемости сред могут быть функциями координат (неоднородные среды), зависеть от частоты колебания поля (дисперсионная зависимость) и от величины поля (нелинейные среды). Если параметры среды не зависят от поляризации поля, то среда является изотропной, если зависят –

анизотропной.

Граничные условия. Для определения значений поля (например, E ) на границе двух сред его представляют в виде суммы двух составляющих: En -

8

нормальной (перпендикулярной) границе раздела и E - тангенциальной (касательной) ей.

Для нормальных составляющих справедливы соотношения:

в отсутствие поверхностных электрических зарядов.

Если по границе раздела сред равномерно распределен электрический

Для тангенциальных составляющих электрического поля справедливо

Если вторая среда – идеальный проводник (с бесконечной проводимостью), то поле в нем не существует. При этом E1τ=0 и на границе существует только нормальная составляющая электрического поля.

Для магнитных составляющих в общем случае справедливо:

Для границы с идеальным проводником вводится понятие поверхностного электрического тока Jпов.э ,протекающего в бесконечно тонком поверхностном слое проводника, и измеряемого в А/м:

Примеры решения задач

2.1. В среде с параметрами ε = 4, μ = 1, σ = 0,5 См/м создано синусоидальное электрическое поле с частотой 108 Гц. Амплитуда плотности электрического тока проводимости в каждой точке среды равна 5·10-3 А/м2.

9

Определить амплитудное значение суммарного вектора плотности токов смещения и поляризации.

Решение. Амплитуда плотности тока проводимости Jпр E .

Отсюда

E Jпр =10-2 В/м

Искомое значение суммарного вектора определяется как

где а 0 Амплитудное значение суммарного вектора с учетом гармонического

закона изменения поля: Jсумм a Em Окончательно получаем

2.2. Электрический заряд равномерно распределен в объеме шара диаметром 2a=4 см, находящегося в воздухе. Определить объемную плотность заряд ρ шара, если напряженность электрического поля вокруг него равна Е=10 кВ/м2.

Решение. Согласно закону Гаусса, полный электрический заряд шара равен суммарному потоку векторного поля D через замкнутую поверхность шара площадью S. Поскольку заряд равномерно распределен по объему шара, интегрирование заменяется умножением на V =4/3πa3. Тогда

2.3. По бесконечному цилиндрическому проводнику диаметром 2a=10см протекает постоянный ток I0=2А. Плотность тока неизменна по сечению проводника. Определить напряженность магнитного поля Н проводника при r1=10 и r2=3 см.

10