- •Асимптоты.
- •Из таблицы следует, что меняет знак при переходе через точку , но тогда по теореме 6 эта точка является абсциссой точки перегиба.
- •Знаки функций. , если и , если . Корни уравнения известны: и . Кривая знаков имеет вид (рис.12) рис.13
- •Строим график функции (рис.15)
- •Литература.
- •Предельная себестоимость характеризует себестоимость c прироста продукции q
- •II. Исследование функций с помощью производных.
Предисловие.
Цель пособия – оказать студентам помощь в изучении ими таких понятий математики как предел и производная, а так же в освоении и применении методов, используемых при исследовании функций одного переменного, базирующихся на этих понятиях. При этом круг рассматриваемых вопросов не выходит за пределы программы, по существу он определяется тематикой типовых расчетов.
В пособии приводятся необходимые теоретические сведения и подробные решения типовых примеров.
Данное пособие ориентированно на студентов экономических групп специальностей 0605 – «Бухгалтерский учет и аудит»; 0719 – «Информационные системы в экономике».
При исследовании графиков функций при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой важным является случай, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой А.
Определение 6. Прямая А называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю. Различают асимптоты вертикальные и наклонные.
Определение 7. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функций , если справедливо хотя бы одно из нижеследующих выражений:
(10)
Из определения 7 следует, что вертикальные асимптоты следует искать как такие значения , при приближении к которым аргумента , функция стремится к бесконечности. Обычно это точки разрыва второго рода функции , если их нет, то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Теорема 7. Прямая тогда и только тогда является наклонной асимптотой графика функций при , когда
(11)
Замечания. Иногда наклонные асимптоты называют левыми, если в (11) и правыми, если . Если хотя бы один из пределов (11) не существует, то функция не имеет наклонной асимптоты.
Пример. Найти асимптоты кривой
Решение. а) Вертикальная асимптота: , так как при ,
б) Наклонная асимптота
,
,
- наклонная асимптота.
При получаем то же выражение, т.е. наклонная асимптота одна.
Пример. Найти асимптоты кривой
Решение: а) Очевидно кривая не имеет вертикальных асимптот, так как только при
б) Найдем и для наклонных асимптот.
,
,
Если , то получим и .
Таким образом, кривая имеет две наклонные асимптоты.
, при
и , при .
-
Полное исследование функции.
Приведенные выше теоретические сведения по определению интервалов монотонность функции, ее экстремумов, интервалов выпуклости и вогнутости графика функции, его точек перегиба и асимптот позволяют провести полное исследование функции и построить ее график, дающий представление о характерных свойствах и особенностях исследуемой функции. Полное исследование функции проводится по следующему примерному плану:
-
Находится область допустимых значений (ОДЗ) функции.
-
Выясняется, является ли функция четной, нечетной, периодической или общего вида.
-
Определяются точки пересечения с осями координат графика функции, находятся ее нули и точки разрыва.
-
Находятся интервалы знакопостоянства функции.
-
Находятся критические точки, интервалы возрастания, убывания и точки экстремума, а так же характер экстремума в каждой точке.
-
Находятся вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.
-
Определяются интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции.
-
Для большей точности графика иногда строятся и отдельные точки графика.
-
Строится график функции.
Ниже приводятся примеры полного исследования и построения графиков различных видов функций. По ходу исследования приводятся при необходимости соответствующие пояснения.
Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1.Функция определена всюду, кроме точек
и , поэтому ее ОДЗ включает интервалы
2. Функция нечетная, так как , следовательно, график функции симметричен относительно начала координат. Функция не периодическая.
-
Точки пересечения графика функции с осями координат: с осью при ; с осью при , т.е. кривая проходит через начало координат.
-
Для определения интервалов знакопостоянства построим кривую знаков (рис.6)
Рис.6
Из рис. 6 следует, что данная функция:
положительна в интервалах и
отрицательна в интервалах
-
Для нахождения критических точек вычислим производную :
Производная равна нулю в точках и и не существует в точках , . Так как точки и не входят в ОДЗ функции, то критическими точками не являются. "Подозрительными" на экстремум являются точки и . С помощью первого достаточного признака экстремума (теорема 3.) определим существование и характер экстремумов в этих точках, вычисляя знак в малой окрестности точек и
а) для
В силу теоремы 3, в точке функция имеет максимум.
б) Для
так как производная меняет знак с " - " на "+" при переходе через точку , то в этой точке функция имеет минимум:
Кривая знаков производной имеет вид (см. рис. 7):
Рис.7.
Из рис. Следует, что функция возрастает на интервалах и убывает на интервалах
-
Асимптоты.
а) Очевидно, что при и , поэтому и вертикальные асимптоты.
б) ,
. - наклонная асимптота.
-
Для нахождения интервалов выпуклости вогнутости вычислим и рассмотрим кривую знаков (см. рис. 8)
рис. 8.
Вторая производная равна нулю при и не существует при и (точки не входят в ОДЗ).
Так как при кривая выпукла, а при - выгнута, то график функции выпуклый на интервалах и выгнутый на интервалах , что отмечено знаками и в таблице, которую удобно использовать при построении графика, в этой таблице знаками и отмечено возрастание, и убывание функции
- |
- |
+ |
- |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы следует, что меняет знак при переходе через точку , но тогда по теореме 6 эта точка является абсциссой точки перегиба.
8. Учитывая результаты исследования, строим график заданной функции (рис. 9.)
Рис. 9.
Первая производная равна нулю при и не существует в точках , которые вне ОДЗ, и критическими не являются. Для нахождения характера экстремума используем второй достаточный признак (см. теорему 4.)
В критической точке .
;
отсюда следует, что при четном и в таких точках функция имеет минимум; при нечетном , и в таких точках функция имеет максимум.
На рассматриваемом отрезке в точках и функция имеет минимум.
, а в точке - максимум.
.
Интервалы возрастания и убывания функции найдем по закону , который определяется знаком (числителя):
на интервалах , следовательно, на этих интервалах функция возрастает;
на интервалах , следовательно, на этих интервалах функция убывает.
-
а) Вертикальные асимптоты проходят через точки разрыва второго рода, их уравнения
,
на рассматриваемом отрезке и .
б) Наклонных асимптот функция не имеет, так как второй из пределов (11) не существует.
-
Вторая производная , знак которой определяется знаком (знаменателя), на рассматриваемом промежутке положительна при и и отрицательна при . Следовательно, кривая вогнута на интервалах и , и выпукла на интервале . Вторая производная меняет знак при переходе через точки , которые в ОДЗ заданной функции не входят и поэтому абсциссами точек перегиба не являются, т. е. функция точек перегиба не имеет.
-
На основе выводов по каждому пункту составляем для удобства построения графика таблицу. Строим график (рис. 11) для отрезка и продлеваем его на всю ось , используя периодичность заданной функции.
|
1 |
+ |
- |
-1 |
- |
+ |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
-1 |
|
|
1 |
Рис.11
Пример 4. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение. 1.ОДЗ находим из неравенства Так как по определению модуля:
,
то, очевидно, ОДЗ данной функции является вся числовая ось за исключением точек, где , т.е. точек: и .
Эти точки разбивают числовую ось на интервалы, в которых данная функция может быть выражена (принимая во внимание определение модуля) следующими аналитическими уравнениями:
а) если и
б) если и
Отметим это на рисунке 12.
y2 y1 y2 y1 0
x
Рис. 12.