3.2. Дифференциальные критерии выпуклости функций

В тех случаях, когда рассматриваемая функция является дифференцируемой на заданном множестве, выяснение вопроса о ее выпуклости может быть осуществлено с помощью дифференциальных критериев выпуклости. Напомним, что функция дифференцируема в точке , если ее приращение в этой точке может быть записано в виде:

(3.2.1)

и дважды дифференцируема в точке , если

(3.2.2)

Теорема 3.2.1

Пусть функция дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциявыпукла натогда и только тогда, когдавыполнено неравенство

(3.2.3)

Доказательство. Пусть функция выпукла на, т.е.ивыполнено неравенство

(3.2.4)

Из неравенства (3.2.4) следует:

Поскольку при, неравенство (3.2.3) будет выполнено.

Теперь рассмотрим доказательство в обратную сторону. определим точку. Предположим, что выполнены неравенства:

Умножив левую и правую части первого из этих неравенств на , второго – на, затем сложив их, получим:

так как . Поэтому

, т.е. функция выпукла на множестве. Теорема доказана.

Доказанную теорему можно уточнить для случаев строгой и сильной выпуклости функции . Приведем формулировки соответствующих теорем.

Теорема 3.2.1а

Пусть функция дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциястрого выпукла натогда и только тогда, когдавыполнено неравенство

Теорема 3.2.1б

Пусть функция дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциясильно выпукла нас константойтогда и только тогда, когдавыполнено неравенство

Выполнению условий теоремы 3.2.1 в одномерном случае соответствует расположение графика функции прицеликом выше касательной к нему, проведенной в любой точке с абсциссой, принадлежащей множеству.

Дальнейшее изложение дифференциальных критериев выпуклости функций требует напоминания некоторых определений.

Квадратная матрица называется симметрической, если(– транспонированная матрица), т.е. если.

Вещественная симметрическая матрица называется неотрицательно определенной (), есливыполнено неравенство.

Вещественная симметрическая матрица называется положительно определенной (), есливыполнено неравенство.

Вещественная симметрическая матрица называется сильно положительно определенной, есливыполнено неравенство.

В соответствии с критерием Сильвестра вещественная симметрическая матрица является неотрицательно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры неотрицательны, и является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее угловые миноры положительны.

Определитель -го порядкаматрицыимеетглавных миноров-го порядка, диагональные элементы которых являются и диагональными элементами. Угловой минор-го порядка – это главный минор, который состоит из элементов определителя, находящихся одновременно вего первых строках ипервых столбцах.

Например, матрица имеет следующие главные миноры:и следующие угловые миноры:.

Теорема 3.2.2

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциявыпукла натогда и только тогда, когдавыполнено неравенство, т.е. матрица Гессе неотрицательно определена.

Доказательство. Пусть функция выпукла на множестве. Выберем произвольно точкуи. В силу открытости множествапри достаточно малых значенияхимеем. В соответствии с (3.2.2) запишем:

(3.2.5)

Из (3.2.5) и теоремы 3.2.1 следует:

Поэтому

При имееми, следовательно,.

Теперь рассмотрим доказательство в обратную сторону. Пусть выполнено неравенство. Выберем произвольно точкии введем обозначение:. Используя вариант формулы (3.2.2), соответствующий представлению остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, запишем:

(3.2.6)

где ив силу выпуклости множества. Из выражения (3.2.6) следует:

В соответствии с теоремой 3.2.1 функция выпукла на. Теорема доказана.

Для случаев строгой и сильной выпуклости функции соответствующие теоремы формулируются следующим образом.

Теорема 3.2.2а

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциястрого выпукла натогда и только тогда, когдавыполнено неравенство, т.е. матрица Гессе положительно определена.

Теорема 3.2.2б

Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на открытом выпуклом множестве. В этом случае функциясильно выпукла нас константойтогда и только тогда, когдавыполнено неравенство.

Например, для функции одной переменной имеем:

Таким образом, функция является сильно выпуклой нас константой.

Пример 3.2.1. Является ли выпуклой функция

на множестве ?

Матрица Гессе для заданной функции имеет вид:

Чтобы выяснить, является ли полученная матрица Гессе неотрицательно определенной, воспользуемся критерием Сильвестра. Для этого найдем главные миноры определителя матрицы Гессе (называемого гессианом) и установим, все ли они неотрицательны. Рассматриваемая матрица имеет три главных минора:

Поскольку все главные миноры неотрицательны, матрица Гессе неотрицательно определена, и в соответствии с теоремой 3.2.2 заданная функция является выпуклой на.

В случае, если функция имеет вид

, (3.2.7)

где – симметрическая матрица, товыпукла натогда и только тогда, когда матрицанеотрицательно определена () и сильно выпукла натогда и только тогда, когда матрицаположительно определена (). Это следует из того, что для функции (3.2.7)и из теорем 3.2.2, 3.2.2б.

Помимо рассмотренных, существуют и другие способы выяснения выпуклости функций. Один из них связан с понятием множества Лебега. Если функция определена на множестве, то множеством Лебега называется множество

Соответствующая теорема формулируется следующим образом.

Теорема 3.2.3

Если функция сильно выпукла на выпуклом множестве, то все ее множества Лебега наограничены.

Рис. 3.2.1 иллюстрирует ограниченность множества Лебега сильно выпуклой функциив одномерном случае.

Рис. 3.2.1. Множество Лебега для функции