26. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Угломмежду прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и. Так как, то по формуле для косинуса угла между векторами получим

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов S1 и :

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е.l₁параллельнаl₂тогда и только тогда, когда s1 параллелен.

Две прямые перпендикулярнытогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю:.

Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Если прямые ипараллельны, то угол и, откуда из формулы угла между двумя прямыми. И наоборот, если, то по этой же формулеи.

Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.

- условие параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то , при этомили, откудаили.

Справедливо так же и обратное утверждение.

Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

- условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и, то учитывая их угловые коэффициенты и, условие параллельности прямых имеет вид:.

Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых в этом случае примет видили,

Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

27. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Рассмотрим две плоскости α₁и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под угломмежду двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторамииплоскостей α₁и α₂равен одному из указанных смежных двугранных угловили. Поэтому. Т.к.и, то

.

Пример.Определить угол между плоскостямиx+2y-3z+4=0 и 2x+3y+z+8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α₁и α₂параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторыипараллельны, а значит.

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или.

Таким образом, .

28.Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Угол между прямыми.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты - буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки иимеют вид

. (2)

Обознчим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим

.

Отсюда

,,. (3)

Это - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку в направлении вектора. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр, x, y, z - как функции от t; при изменении t величины x, y, z меняются так, что точка M(x; y; z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки М, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки М. При t=0 точка М совпадает с точкой . Скорость v точки М постоянная и определяется формулой

.

Пусть прямые изаданы общими уравнениями

и

Обозначим через φ величину угла между прямыми и(напомним, что угол между прямыми измеряется от 0° до 90°), а через ψ – угол между нормальными векторамииэтих прямых. Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ. Если же ψ > 90°, то φ = 180° – ψ. В обоих случаях верно равенствоследует, что

и, следовательно,

Записав через координаты, получим

Если прямые изаданы уравнениями с угловыми коэффициентамии

и

то нормальные векторы этих прямых могут быть и выражение для косинуса угла между этими прямыми будет иметь вид: