14.Скалярное произведение и его свойства.

Опр. Скалярным произведением векторов наз. число (), равное произведению длин этих векторов и косинуса угла φ=< () между ними

()= |cosφ. Скалярное произведение векторов равно произведению длины одного вектора на величину проекции другого вектора на направление первого вектора: ()= |=

Из определения следует, что ()=0, если либо=0, либоcosφ=0, т.е. ; т.е..⇒для ненулевых векторов : ()=0⇔.

Скалярный квадрат вектора, т.е. скалярное произведение вектора на себя, равен квадрату его модуля:

Свойства скалярного произведения .

1. ()=()-свойство симметричности

2. (λ)=λ() (2,3)-линейность скалярного произведения по первому сомножителю.

3. ()=()+()

15.вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей. Вычисление угла между векторами.

Если =(),=), то ()=, т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат.

Применение. Основное применение скалярного произведения состоит в вычислении углов между векторами: cosφ==. отсюда получаем условие перпендикулярности двух векторов:⇔)=0⇔=0.

Кроме того,с помощью скалярного произведения можно найти величину проекции одного вектора на другой вектор(на ось, определяемую другим вектором): =

16.Векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл модуля.

Опр. Векторным произведением вектора на векторназ. вектор, который обозначается [] и определяется условиями: 1) его длина равна произведению длин этих векторов и синус угла φ=<) между ними:;

2) его направление характеризуется тем, что: а); б) векторыобразуют правую тройку. Это значит, что если отложить эти векторы от одной точки и смотреть из конца третьего вектора, то кратчайший поворот от первого векторако второмубудет осуществляться против часовой стрелки.

(в физике-правило буравчика).

Пример. [I,j]=.|[]|=||||sin=1. По опр. ||=1,⏊, ⏊ и векторы образуют правую тройку. Видно , что векторы .[] иимеют одинаковую длину и направление⇒совпадают.

Если , то <)=0 либо <)=П⇒ []=0. В частности, для любого вектораимеем []=0.

Из геометрии известно, что площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними.⇒ геометрический смысл модуля векторного произведения: длина векторного произведения двух векторов равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |[]|=||||sinφ=.

Свойства :

1. []=-[]-свойство кососимметричности

2. [λ]=λ[]

3. []=[]+[]-(2,3)- линейность векторного произведения по первому сомножителю

17.Вычисление координат векторного произведения. Применение к вычислению площадей.

Векторным произведениемвекторана векторназывается вектор, обозначаемый символоми определяемый следующими тремя условиями:

1). Модуль вектора равен, где- угол между векторамии;

2). Вектор перпендикулярен к каждому из вектораи;

3). Направление вектора соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если векторы,иприведены к общему началу, то вектордолжен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (то есть по вектору), а указательный - по второму (то есть по вектору).

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей. Свойства векторного произведения.

.

Модуль векторного произведения равен площади S параллелограмма, построенного на векторахи:

.

Само векторное произведение может быть выражено формулой

,

где - орт векторного произведения.

Векторное произведение обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторыикомпланарны. В частности,.

Если система координатных осей правая и векторы изаданы в этой системе своими координатами:

,,

то векторное произведение вектора на векторопределяется формулой

,

или

Векторное произведение применяется для вычисления площадей параллелограммов и треугольников.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и, равна:

==.

Если третьи координаты равны нуля:; то формула будет выглядеть:

=;

Площадь треугольника ∆ABC равна половине площади параллелограмма: