9. Таблица эквивалентных бесконечно малых.

Следующие пары б.м. эквивалентны в т.х₀=0

1. sinx~x 6. ln(1+x)~x

2. tgx~x 7. a^x-1~xlna

3. 1-cosx~1/2x² 7_0. e^x-1~x

4. arcsinx~x 8.(1+x)^k-1~kx

5. arctgx~x 9. ½ √1+x-1~1/2x

формулы этой таблицы можно переписать в виде

1. sinα=α+o(α)

2. tgα= α+o(α)

3. cosx=1-1/2α² +o(α)

4. arcsinα= α+o(α)

5. arctgα= α+o(α)

6. ln(1+α)= α+o(α)

7. e^α=1+ α+o(α)

8. (1+α)^k=1+kα+o(α) где α=α(х)- некоторая б.м. в точке х₀

Док-во:

1. lim_x→0sinx/x=1(первый замеч.предел)

2. lim_x→0 tgx/x=sinx/x*1/cosx=1

3. lim_x→0 1-cosx/1/2 x²= lim_x→0 sin² x/2/(x/2)²=1²=1

4. lim_x→0 arcsinx/x=[замена:arcsinx=t, x=sint,x→0t→0]= lim_x→0 t/sint=1

5. lim_x→0 arctg/x=

6. lim_x→0 ln(1+x)/x= lim_x→0 1/x ln(1+x)= lim_x→0 ln(1+x)^1/x=ln e=1 воспользовались вторым замечательным пределом и непрерывностью фу-ии у= lnх

7. lim_x→0 a^x-1/xlna[замена: a^x-1=t, a^x=1+t, xlna=ln(1+t),x→0tγ0]= lim_x→0t/ ln(1+t=1 в силу эквивалентности

8. lim_x→0.(1+x)^k-1/kx= lim_x→0e^kln(1+x)-1/kx= lim_x→0kln(1+x)/kx= lim_x→0ln(1+x)/x=1. Здесь воспользовались основным логарифмическим тождеством b=e^lnb для представления (1+х)^k в виде степени числа е и эквивалентностями 7₀ и 6.

10.Непрерывность функции в точке. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Определение: фун-я f(x) называется непрерывной в точке х₀, если lim_x→x0f(x)= f(x₀). Детально это означает следующее, 1)что существует(Ǝ): существует() f(x₀), т.е f(x) определена в точке х₀;2) существ.(Ǝ) lim_x→x0f(x); 3) lim_x→x0f(x)= f(x₀), т.е предел равен именно значению функции в точке х₀.

В терминах приращения это выглядит так: обозначим х-х₀=ΔХ- «приращение аргумента», а е f(x) - f(x₀)= у-у₀= Δу-«приращение функции». Тогда х→х₀, означает,ч то ΔХ→0 определение непрерывности преобретает следующий вид.

Определение^’: фун-я f(x) называется непрерывной в точке х₀, если приращение функции стремиться к 0, когда приращение аргумента стремиться к 0,то lim_Δ→x0Δу=0

Определение: если фун-я f(x) не является непрерывной в точке х₀, то она называется разрывной в точке х_0, а х₀ называется точкой разрыва. Причины разрыва- нарушение одного из перечисленных условий 1-3(самый существенный2). Если выполняется условие 2: существ.(Ǝ) lim_x→x0f(x)=А, но либо А≠ lim_x→x0f(x), либо f(x) не определена в т. Х_0, мы можем «переопределить» либо «доопределить» фу-ию f(x) в т. Х_0, положив, что f(x₀)= lim_x→x0f(x),после этого f(x) становится непрерывной в т. Х₀. Поэтому если в т. Х₀ существует lim_x→x0f(x), то Х₀ называется точкой устранимого разрыва. Пример: f(x)=х²-х-2/х-2 не определена в т.х₀=2, т.к. х²-х-2=(х-1)(х-2), то f(x)=х+1 при х≠2. Поэтому, если доопределить фу-ию в точке х=2, положив, что f(x)=3, то получим непрерывную фун-ию у=х+1.

Определение: точка Х₀ называется точкой разрыва первого рода фун-ии f(x), если существуют конечные пределы справа и слева в этой точке, т.е существ.(Ǝ) lim_x→x0+0f(x) и существ.(Ǝ) lim_x→x0-0f(x). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода. В точке разрава первого рода фун-ия делает «скачок» на величину h=f(x₀+0)-f(x₀-0). Поэтому точки разрыва первого рода иногда называются просто скачками. Если h=0, то Х₀- точка устранимого разрыва. Пример: фун-я у=1/х имеет в т.х=0 разрыв второго рода. В данном случае lim_x→x0+01/х=+∞,а lim_x→x0-01/х=-∞, фун-ия имеет пределы слева и справа и делает скачок на h=∞. Такие точки разрыва по определению относятся к разрывам второго рода.

11. Св-ва функций, непрерывных на отрезке.

Определение: функция у=f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в кждой внутренней точке и непрерывна в точке а справа а в точке b слева. Фун-ия у=f(x) называется ограниченной на [a,b], если существует константа М, такая,что | f(x)|≤М для каждой()х принадлежащего()[a,b].

Теорема(Вайерштрасе): фун-ия, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения. Замечание: оба условия теоремы, то, что 1) фун-ия непрерывна и 2) именно на отрезке,- является существенным, если одно из условий не выполняется, то теорема может быть неверна.

Теорема (Больцано-Коши): фун-ия, непрерывная на отрезке (интервале), проходит через все промежуточные значения, т.е. если f(а)=А, f(b)=В и, например, А<В, то для каждой() С такого, что А≤С≤В, существ.() Х₀ принадлежащее()[a,b], что f(x₀)=С

Теорема (о нулях): если на концах отрезка непрерывная функция принимает значения разных знаков, то существует точка, в которой функция обращается в ноль, f(x₀)=0.Эта теорема очевидна с интуитивной точки зрения. Графиком непрерывн. фун-ии является непрерывная кривая.

12. Определение производной. Вычислить по определению производные функций y=x², y=sinx, y=cos x.

Определение: производной функции y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх, когда приращение аргумента стремиться к нулю Δх→0

f^’(x) = lim_Δх→0Δу/Δх= lim_Δх→0f(x₀+Δx)- f(x₀)/Δx. Производная в т.х₀-это число. Если т.х₀ меняется, мы получаем функцию f^’(x), которая также называется производной функцией. Нахождение производной-дифференцирование. Производные обозначаются у’ или f^’(x), dy/dx.

y’=lim_Δx→0Δy/Δx= lim_Δx→0(x+Δx)²-x²/ Δx= lim_Δx→0x²+2xΔx+(Δx)²-x²/ Δx= lim_Δx→0(2x+Δx)=2x

y’= lim_Δx→0Δy/Δx= lim_Δx→0sin(x+Δx)-sinx/ Δx= = lim_Δx→02sinΔx/2*cos(x+Δx/2)/ Δx= lim_Δx→0sinΔx/2*cos(x+Δx/2)/ Δx/2=cosx

y’= lim_Δx→0Δy/Δx= lim_Δx→0cos (x+Δx)-cosx/ Δx= = lim_Δx→02cosΔx/2*-sin(x+Δx/2)/ Δx= lim_Δx→0cosΔx/2*(-sin(x+Δx/2)/ Δx/2=-sinx.