2.Свойства бесконечно малых.

Лемма 1: сумма двух б.м. есть б.м., т.е. если α(х) и β(х) есть б.м. в точке х₀ , то α(х) +β(х) есть б.м. в точке х₀.

Док-во: дано: lim_х→х0 α(х)=0 и lim_х→х0 β(х)=0 надо доказать, что : lim_х→х0(α(х)+β(х))=0. Пусть дано Ɛ>0, возьмем Ɛ/2; из определения предела следует, что Ǝδ₁>0 такое, что при 0<│х-х₀│<δ₁ выполняется неравенство │α(х)│˂Ɛ/2 и Ǝδ₂˃0 такое, что при 0<│х-х₀│<δ₂ выполняется неравенство │β(х)│˂Ɛ/2. Возьмем δ=min(δ_1, δ₂). Тогда при 0<│х-х₀│<δ выполняются неравенства и поэтому │α(х)+β(х)│≤ │α(х)│+│β(х)│<Ɛ/2+Ɛ/2=Ɛ. По определению это означает, что lim_х→х0(α(х)+β(х))=0.

Лемма 2: Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию есть бесконечно малая.

Док-во: дано: lim_х→х0 α(х)=0 и f(х) ограничена в точке х₀. Надо доказать, что : lim_х→х0(α(х)*f(х))=0. Пусть дано Ɛ>0, т.к. f(х) ограничена, то Ǝ М и δ₁˃0 такие, что при 0<│х-х₀│<δ₁ =>│f(x)│˂M. Возьмем Ɛ/М, т.к. lim_х→х0 α(х)=0, то Ǝ δ₂˃0 такое, что при 0<│х-х₀│<δ₂ выполняется неравенство │α(х)˂Ɛ/М. Возьмем δ= min {δ₁,δ₂}. Тогда при 0<│х-х₀│<δ имеем │α(х)*f(х)│= │α(х)│*│f(х)│≤Ɛ/М*М=Ɛ, это и означает ,что lim_х→х0(α(х)*f(х))=0.

3. Предел суммы, произведения и частного.

Теорема: пусть lim_х→х0 f(х)= А, пусть lim_х→х0 g(х)= B, тогд

1. lim_х→х0 (f(х)+ g(х))=А+В, т.е. предел суммы равен сумме пределов.

2. lim_х→х0 (f(х)* g(х))=А*В, т.е. предел произведения равен произведению пределов.

3. Частный случай: если f(х)=С= константе, то lim_х→х0 g(х)*С= С* lim_х→х0 g(х), т.е. постоянную можно выносить за знак предела.

4. Если В ≠0, то lim_х→х0 f(x)/g(x)=A/B, т.е. предел частного равен частному пределов, если числитель и знаменатель ≠0

4. Предел функции на бесконечности. Предел числовой последовательности.

Определение: число А называется пределом функции f(x) при х→∞, lim_х→∞ f(х)=А если для каждого ε>0 существует N, зависящее от ε, такое, что при │х│>N выполняется неравенство│f(x)-С│<ε. Аналогично определяются понятия lim_х→+∞ f(х)- х становится больше, lim_х→-∞ f(х)- х становится большим по модулю.

Рассмотрим фу-ии f(х), у которых аргумент х=n меняется дискретно, при этом определение предела lim_х→-∞ f(х) превращается в определение предела числовой последовательности. Числовая последовательность-функция натурального аргумента n принадлежит N={1,2,3…}. Обозначим значение такой функции f(n)=a_n. Другими словами, можно сказать, что числовая последовательность- множество чисел, занумерованных натуральными числами. Обычно числовые последовательности задают с помощью формулы общего члена.

Определение: число А называется пределом числовой последовательности {a_n}, lim_n→∞ a_n=A, если для каждого ε>0 существует такой номер N выполняется неравенство │ a_n-A │<ε. Это определение удобно переформулировать в терминах понятия «почти все». Говорят, что некоторое св-во выполняется для почти всех членов последовательности, если оно выполняется для всех членов, кроме конечного числа. Тогда lim_n→∞ a_n=A, если для сколь угодно малого ε>0 почти все члены последовательности лежат в ε-окрестности точки А. Пример: lim_n→∞= lim_n→∞(1-1/n)=1.