42. Применение закона Био-Савара-Лапласа для вычисления магнитного поля бесконечного прямолинейного проводника с токомю

В произвольной точке А, удаленной на расстояние R от оси проводника, векторы dBот всех элементов тока имеют одинаковое направление, которое перпендикулярно плоскости чертежа («к вам»). Значит, сложение всех векторов dBможно заменить сложением их модулей. За постоянную интегрирования возьмем угол α (угол между векторами dlиr) и выразим через него все остальные величины. Из рис. 2 следует, что(радиус дуги CD вследствие малости dlравен r, и угол FDC по этой же причине можно считать прямым). Подставив эти формулы в (2), получим, что магнитная индукция, которая создавается одним элементом проводника, равна(4)  Поскольку угол α для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до π, то, согласно (3) и (4),Значит, магнитная индукция поля прямого тока(5)

44. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме ( теорема о циркуляции вектора В): циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной µ₀ на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

∫Bdl = ∫B₁dl = µ₀ ∑ I_k

Где n – число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным.

Выражение справедливо только для поля в вакууме, поскольку как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.

Продемонстрируем справедливость теоремы о циркуляции вектора В на примере магнитного поля прямого тока I, перпендикулярно плоскости чертежа и направленного к нам. Представим себе замкнутый контур в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого контура вектор В одинаков по модулю и направлен по касательной к окружности (она является и линией магнитной индукции). Следовательно, циркуляция вектора В равна:

∫B₁dl = ∫Bdl =В∫dl= В*2πr

В= µ₀I/2πr

Таким образом, исходя из теоремы о циркуляции вектора В получили выражение для магнитной индукции поля прямого тока.

45. Солено́ид (от греч. solen — трубка, eidos — вид), — катушка провода, намотанного на цилиндрическую поверхность.Если длина соленоида намного больше его диаметра, то при протекании тока по обмотке внутри катушки создаётся магнитное поле, направленное вдоль оси, которое однородно и по величине равно B = μ₀nI (СИ), (СГС), где μ₀ — магнитная проницаемость вакуума, n — число витков на единицу длины, I — ток в обмотке. Индуктивность соленоида выражается следующим образом: L = μ₀n2V (СИ), L = 4πn2V (СГС), где V — объём соленоида.

Торроид представляет собой тонкий провод, плотно (виток к витку) намотанный на каркас в форме тора (рис. 2.16).

Рис. 2.16

      Возьмём контур L в виде окружности радиуса r, центр которого совпадает с центром тора радиуса R.

            В силу симметрии, вектор в каждом токе направлен по касательной к контуру.

            Следовательно,

,

(2.8.1)

где – длина контура.

      Если контур проходит внутри тороида, он охватывает ток   (n – число витков на единицу длины).

      Тогда, в соответствии с теоремой о циркуляции вектора , можно записать:

Отсюда следует:

,

(2.8.2)

      Контур вне тороида токов не охватывает, поэтому .

      Для тороида, где радиус тора намного больше радиуса витка, отношение , тогда магнитное полеВ можно рассчитать по формуле (2.7.1):

                                                 

В тороиде магнитное поле однородно только величине, т.е. по модулю, но направление его в каждой точке различно.

47. Закон Ампера — закон взаимодействия постоянных токов. Установлен Андре Мари Ампером в 1820. Из закона Ампера следует, что параллельные проводники с токами, текущими в одном направлении, притягиваются, а в противоположном — отталкиваются. Законом Ампера называется также закон, определяющий силу, с которой магнитное поле действует на малый отрезок проводника с током.

Закон Ампера применяется для определения силы взаимодействия двух токов. Каждый из проводников создает магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с током. Рассмотрим, с какой силой действует магнитное поле тока I₁ на элемент dl второго проводника с током I₂. Ток I₁ создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной индукции которого представляют собой концетрические окружности. Направление вектора B₁ определяется правилом правого винта, его модуль по формуле равен:

B₁ =( µ₀µ/4π)(2I₁/R)

Направление силы dF₁, с которой поле B₁ действует на участок dl второго тока, определяется по правилу левой руки и указано на рисунке. Модуль силы, согласно равен, с учетом угла:

dF₁ = I₂B₁dl

Подставляя значение для B1, получим

dF₁ = (µ₀µ/4π)(2I₁I₂/R)dl

Два параллельных тока одинакового направления притягиваются друг к другу с силой

dF₁ = (µ₀µ/4π)(2I₁I₂/R)dl

Если токи имеют противоположные направления, то, используя правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила отталкивания.