Метод Фибоначчи

В методе Фибоначчи точка деления интервала исследования определяется с каждым новым расчётом (в методе дихотомии необходимо на каждом шаге выполнять два расчёта). В интервал исследования попадет предыдущий расчёт и для продолжения поиска достаточно произвести расчёт симметрично имеющемуся.

Допустим, задано число расчётов (шагов) N. Необходимо их произвести так, чтобы интервал, в котором лежит оптимум, был минимальным. Числа Фибоначчи, используемые в этом методе, определяются следующим образом:

F_N=F_N-1+F_N-2

F₀=F₁=1

Алгоритм метода Фибоначчи состоит из следующих этапов:

1. Изменяют масштаб исходного интервала, в котором лежит оптимум. В качестве единицы измерения принимают 1=X₀/F_N, или если задана длина l, в котором лежит оптимум, находят его на исходном интервале длиной X₀. Для этого, разделив X₀ на 1, находят ближайшее большее число Фибоначчи F_N, а по нему определяют N – число необходимых расчётов для определения интервала.

2. Расставляют первые две точки ина интервале исследованияX₀ на расстоянии F_N-2 от конца b.

3. Вычисляют значение целевой функции в этих точках для сужения интервала исследования. Пусть > , тогда интервал [, F_N] исключается из рассмотрения.

4. На новом интервале исследования снова расставляют две точки и, но в одной из них уже известно значение целевой функции=.

5. Переходят к этапу 3 и т.д., пока не достигают искомого интервала, в котором находится значение переменной, максимизирующее её целевую функцию.

На рис. 6 показан процесс сужения интервала исследования:

Рис. 6. Процесс сужения интервала исследования.

Последний N–й расчёт определяет интервал длиной l, в котором находится экстремум целевой функции.

Метод золотого сечения

Золотое сечение проводит деление отрезка АВ на две неравные части так, чтобы было справедливо соотношение (рис. 7).

Рис. 7

Метод золотого сечения позволяет сужать отрезок [a, b] каждый раз вычисляя лишь одно значение F(x), а не два, как в методе дихотомии.

Данный метод реализуется следующим алгоритмом:

1. Находим коэффициент дробления k=(√5-1)/2 отрезка [a, b].

2. Находим абсциссу х₁=a + (1-k)*(b-a) и вычисляем F(x₁).

3. Находим абсциссу х₂=a + k*(b-a) и вычисляем F(х₂).

4. Проверяем выполнение условия |x₂-x₁|<E, где E – заданная погрешность вычисления x_n. Если это условие выполняется, вычисляем x_n = (x₁+ x₂)/2 и F(x_n), после чего останавливаем счёт с выдачей значений x_m и F(x_n). Если данное условие не выполняется, идём к п.5.

5. Проверяем условие F(x₁) < F(x₂). Если оно выполняется, полагаем, а = х₁, х₁ = х₂ и F(x₁) = F(x₂), после чего идём к п.3. и п.4.

Если F(x₁) ≥ F(x₂), полагаем b = x₂, x₂ = x₁, f(x₁) = f(x₂), после чего выполняем п.2 и п.4

Использование пппEurekaиExcelпри решении задач оптимизации

Использование ППП Eureka для поиска экстремумов функций одной переменной.

Для поиска максимумов функций одной переменной необходимо в окне Edit набрать

$|__|max(F)

y(x)=

F=y(x)

В окне Solution будет выдано решение

F=

x=

Перед решением задачи весьма полезно оценить вид функции, экстремум которой необходимо найти и уточнить интервал x, в котором этот экстремум находится. Для этого достаточно воспользоваться командой Plot в позиции Graf основного меню. Из вида графика сделать вывод о правильности решения.

Использование ППП Excel для поиска экстремумов функций одной переменной.

Для поиска максимумов функций одной переменной необходимо:

Вызвать Подбор параметра, с помощью команды в меню Сервис. Окно Подбор параметра состоит из трех полей:

- Установить целевую ячейку, в котором ставится ссылка на ячейку с формулой (Y);

- Равной – выбираем максимальному значению;

- Изменяя ячейки, в которой ставится ссылка на ячейку с изменяемым параметром (первая граница, а интервала (а,в)).

После нажатия кнопки OK, появляется окно, Результаты поиска решения, сохраняем найденное решение. Полученное решение: