Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Динамика / 3. Системы с конечным числом степеней свободы / Динам СКЧССМ-Л1.PPT

Скачиваний:

Добавлен:

09.04.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n

в амплитудах инерционных силовых факторов ( сил инерции):

i-1

0, i 1,n

k 1

mi ω

k i 1

В матриδ

чнойJ форме:δ

0 ,

12 2

1i i

1k k

1iin n

m1ω

miω

δ J

– вектор

δ– матрицаJ

дина0 -,

m ω k

амплитуд

21 1

2i i

2k k

2n n

инерцион-

мической подат-

ливости системы

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ных сил

по направлениям

инерционных сил

δ J

miω

δ J

0 ,

i1 1

i2 2

ik k

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 .

m ω2

В матричной форме:

12 1i 1n

22 2i 2n

δ J

– матрица дина-

амплитуд– вектор

i2 ii in

мической подат-

инерцион-

ливости системы

ных сил

по направлениям

n2 ni nn

инерционных сил

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Уравнения собственных колебаний системы с конечным числом n

в амплитудах инерционных силовых факторов ( сил инерции):

i-1

0, i 1,n

k 1

mi ω

k i 1

11 12 1i 1n

матричной форме:

22 2i

δii δii

miω2

δ J 0

– вектор

– матрица дина-

амплитуд

i2 ii

мической подат-

1i 1n

инерцион-

ливости

системы

ных сил

по направлениям

2i 2n

n1 n2 ni nn

инерционных сил

diag

δ ω

ii in

m ω2

δ LтB L

матрица динамических ( инерционных )

ni nn

поправок к податливости системы

матрица масс, порождаю-

diag m1

m2 mi mn

щих инерционные сило-

– матрица

вые факторы J1,J2

,…, Jn

упругой податливости

Варианты решения уравнений СК δ J 0 :

системы по направлениям

1) J = 0 – тривиальное решение ( отсутствие движения )

инерционных сил

Det (δ) 0

2) J = 0 – нетривиальное решение (условие существования

движения )

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Нетривиальное решение

системы уравнений собственных колебаний:

Det(δ) 0

– характеристическое

уравнение частот

J = 0

уравнение

( собственных колебаний )

12 1i 1n

( вековое уравнение, частотное уравнение )

22 2i 2n

Det(

)

Det( ω 2 m 1) 0

Det( λ a

1) 0

i2 ii in

m0ω2

n1 n2 ni nn

a diag m0

Det(δ) Ф( )

Пример: при n = 2

Det(δ)

δ11

δ12

Ф( )

1, 2

j 2

(δ11 λ/a1)(δ22

λ/a2) - δ122 0

n – собственные значения ( числа)

ω j

m0λ j

ω1 ω2

ωj ωn

– спектр частот собственных колебаний

(совокупность частот в порядке их возрастания )

1 – частота основного тона колебаний	2 ,…, n – частоты обертонов

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)

y1( j)y2( j) yi( j)
Главная форма,	yn( j)
соответствующая
частоте j

β y(βj) J( j)βJ (0j ) Jk1( j)

J1( j ) / Jk ( j )

J2( j) / Jk( j)

	J( j) Ji( j) / Jk( j)



	Jn( j ) / Jk ( j )

Собственный вектор инерционных сил j-й главной формы

Вектор амплитуд

Собственный вектор

перемещений

j-й главной формы

y1( j ) / yk ( j )

β y1( j )

1( j )

y2( j )

β y 2( j )

y2( j )

/ yk( j )

j )

y( j )

/ yk ( j )

β y( j )

β yi( j )

yk ( j )

yi ( j )

yi( j )

yn( j )

/ yk ( j )

β yn( j )

(не определяется)

(βyk( j) 1 )

βJ 1( j )

βJ 2( j )

Ji( j)

mi j yi( j)

βyi( j) ai βyi( j)

βJi( j)

Ji( j) Jk( j)

mk 2j yk( j)

βy( j) a

βJ ( j)

βJn( j)

βJ( j)

0 :

(βJk( j) 1 )

из уравнений

J( j)

βJ( j) 0

Jk( j)

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)

Вектор амплитуд

Собственный вектор

Свойства главных форм

перемещений

j-й главной формы

2( j)

y1( j ) / yk ( j )

β y1( j )

y1( j)

yi( j)

1( j )

y2( j ) / yk( j )

β y 2( j )

y2( j )

Главная форма,

β y( j )

yn( j)

j )

y( j )

β yi( j )

соответствующая

yi ( j )

yk ( j )

yi( j ) / yk ( j )

частоте j

yn( j )

yn( j ) / yk ( j )

(

β yn( j )

(не определяется)

βJ1( j)

βyk( j) 1 )

( 22

λ j /a2) 2,k 1

βJ2( j)

2,k 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

βJ( j) 0

βJ,k-1( j)

i,k 1 i,k 1

βJ,k 1( j)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n,k 1 n,k 1

( nn λ j /an)

βJn( j)

n –уравнений1

J(j)

y( j)

a 1β

( kk – j /ak)

J ( j)

yi(

k( j) n –1 неизвестных

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)

J2( j)

Свойства главных форм

J1( j)

1. Главные формы колебаний

y2( j)

взаимно ортогональны.

y1( j)

yi( j)

Ji( j)

Jn( j)

2. Большим частотам из спектра

Главная форма,

yn( j)

соответствуют более сложные

главные формы (с большим

соответствующая

числом узлов и пучностей

частоте j

стоячих волн).

Смысл ортогональности главных форм:

s < j

1(s)

возможная работа инерционных силовых факторов

любой главной формы на перемещениях масс

y2(s)

yi( s)

в другой главной форме равна нулю: Wjs =

0 ( j s )

Wjs n

Jk( j)

yk(s) ω2j n

yk( j) yk(s)

Выражения условия ортогональности ГФК

k 1

Главная форма,

yn(s)

через собственные векторы

сил инерции и

соответствующая

По теореме Бетти для равновперемещений:сных состояний j и s:

частоте

Wjs Wsj Jk(s) yk( j) ω2s

mk yk(s) yk( j)

k 1

j, s – номера главных форм Wjs – Wsj = 0

ω2j

ω2s mk

yk( j) yk(s) 0

Wjs = 0

k 1

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)
J2( j)				Свойства главных форм
J1( j)
				1. Главные формы колебаний
y2( j)
				взаимно ортогональны.
y1( j)	yi( j)	Ji( j)		2. Большим частотам из спектра
			Jn( j)
Главная форма,		yn( j)		соответствуют более сложные
				главные формы (с большим
соответствующая				числом узлов и пучностей

частоте j	стоячих волн).

y1(s)

y2(s)

s < j

Смысл ортогональности главных форм:

возможная работа инерционных силовых факторов

любой главной формы на перемещениях масс

yi( s)

в другой главной форме равна нулю: Wjs = 0 ( j s )

		Выражения условия ортогональности ГФК



Главная форма,	yn(s)	через собственные векторы



		сил инерции и перемещений:



соответствующая		а)	тJ ( j) y(s) 0




частоте s


		б) тJ ( j) a 1 J (s) 0





j, s – номера главных форм		в) тy( j) a y(s) 0

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)

n = 3

J1(1) J1(2)

J1(2)

J2(1)J2(2)J2(2)

J3(1)

J3(2) J3(2)

Главные формы, соответствующие частотам
1	2		3
1	1 < 2	< 3	3
	1 < 2	< 3

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)
					П р и м е р
			Определить частоты и формы собственных колебаний
/3	m y1		m	J1	11	J1= 1	12		13
/3	EI	y2 3m		J1				J2= 1
/3 H	3m	y2 3m		J2	21		22	J2= 1	23
/3 H	EI			J2					23
H	2	4m							J3= 1
H/3	4m	4m	J3		31		32	33	J3= 1
	4EI	y3			31		32	33

																						n = 3																		H																				2H/3															H/3


y1 11 J1 12																				J2 13J3 ,														k = 1											M1						k = 2														M2			k = 3												M3
y1 11 J1 12																				J2 13J3 ,
				21J1 22J2 23J3 ,
y2				21J1 22J2 23J3 ,																																					M			M		dxj			11							37				; 12 21								31			; 13				31							1			;
																																									M			M	k				11				324 EI							; 12 21							648 EI				; 13				31							81 EI			;
																													ik														i		k
				31J1 32J2 33J3 .																									ik											EI j																																							1
y3				31J1 32J2 33J3 .																																				EI j									22							1			;		23 32							5			; 33								1
										1			2																						1					l j
																			1												2							1															36 EI														648 EI										324 EI
																			1												2							1															36 EI														648 EI										324 EI
	11														J1						12J2						13J3									0,
		ω2														m							m0ω														a		m = m
								m1ω																																		1	Уравнение частот СК:																					3	(74		λ)		31										8
								m1ω																																		1	Уравнение частот СК:																					3	(74		λ)		31										8
												74						31 8											1						0			0																11				123 13																				74 31 8
												74						31 8											1						0			0																11				123 13																				74 31 8
							3														1						1																																H													H	3
						H															1						1																																H													H
																																													Det(δ) 0																				31			(18	λ/3)										5					0
																																													Det(δ) 0																				31			(18	λ/3)										5					0
												31					18 5										2		0 1/3									0										J										22				13			0												31 18 5
												31																	0 1/3									0
21J1									11														2	J2					23J				3			0,															21
					648 EI																					m ω														m = 3m
					648 EI									8 m5 ω2												m ω														m = 3m																	648 EI									8			648 EI										λ/4)
																											0		0						0			1/4				2																											648 EI
																													0						0			1/4																																5					(2
																					2																																																										8				5 2
																					2																																							32			33																8				5 2
												74 31 8																						1				0		0																31				32			33			8
							3					74 31 8															1							1				0		0										(74							λ)				31					8
							3																				1																					3
												J														648 EI					J					0.											H																											648EI
			JH									J																			J					0.				m0 = 4m							H																											648EI
											31						18 5															0 1/3								m0 = 4m											31							(18 λ/3)								5
		31				1				32				2									11					2					3
		648 EI																							m33ω					2												3			648 EI																															3		mω			2
		648 EI																							m33ω					2												3			648 EI																															3					2
									8								5					2			H m0ω							0						0		1/4												8									5				(2		λ/4)							H
																																																							1 3 4
																																								m0= m										a =
																																								m0= m										a =

Динамика систем с конечным числом степеней свободы масс

Формы собственных колебаний (главные формы колебаний)
					П р и м е р
			Определить частоты и формы собственных колебаний
/3 H/3	EI EI	y1 m		J1	11	J1= 1	12		13
		y2 3m			21		22	J2= 1
				J2					23

H	2	4m	J3					33	J3= 1
H/3					31		32
	4EI	y3

											n = 3													H															2H/3										H/3


y1 11 J1 12											J2 13J3 ,									k = 1								M1						k = 2								M2				k = 3					M3
y1 11 J1 12											J2 13J3 ,
		21J1 22J2 23J3 ,
y2		21J1 22J2 23J3 ,																							M		M			dxj		11				37			; 12 21						31			; 13	31					1	;
																									M		M	k				11			324 EI				; 12 21					648 EI				; 13	31				81 EI		;
																	ik									i		k
		31J1 32J2 33J3 .															ik
y3		31J1 32J2 33J3 .																								EI j										1										5				1
																								l j												1										5				1
								2		1								2		1		1		l j								22		36 EI ;						23 32			648 EI					; 33	324 EI
	ω							2	m	1								2		1	a	1										22		36 EI ;						23 32			648 EI					; 33	324 EI
	ω								m			m0ω									a					Уравнение частот СК:																(74 λ)				31				8
												m0ω														Уравнение частот СК:															3
				H	3		74 31					8			1		1			0			0															H		3
					3		74 31					8					1			0			0																	3
							31 18					5					0			1/3			0					Det(δ) 0														31				(18 λ/3)				5				0

														m0ω2
			648 EI					8 5				2		m0ω2			0			0		1/4														648 EI							8				5		(2 λ/4)

		H		3		74 31						8		648 EI					1			0		0						H	3		(74 λ)							31			8						648EI
		H												648 EI																H																			648EI
						31 18						5							0 1/3					0										31			(18 λ/3)						5
	648 EI					31 18						5	H		3	m0ω		2	0 1/3					0										31			(18 λ/3)						5						3	mω		2
	648 EI							8	5			2	H			m0ω				0		0		1/4					648 EI						8					5									H	mω
																																			8					5		(2 λ/4)

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 3. Системы с конечным числом степеней свободы

#
09.04.20152.44 Mб34Динам СКЧССМ-Л1.PPT
#
09.04.20153.45 Mб39Динам СКЧССМ-Л2.PPT