22. Щелкните на кнопке Сохранить на панели быстрого доступа.

Решение систем линейных уравнений

Дана система n линейных уравнений:

Решением системы является нахождение корней, то есть таких значений вектора X(x₁, x₂, x₃, …, x_n), которые после подстановки в систему обращают уравнения в тождества.

Рассмотрим два варианта решения системы: с использованием метода Крамера и с использованием обратной матрицы.

Вариант 1. Решить систему уравнений методом Крамера.

Сформируйте исходные данные следующим образом.

1. Активизируйте Лист3.

2. В ячейку А2 введите метку A=, а в диапазон В1:D3 введите матрицу, состоящую из коэффициентов системы.

3. В ячейку F2 введите метку B=, а в диапазон G1:G3 введите вектор-столбец свободных членов.

4. В ячейку А5 введите текст Формулы Крамера.

5. В ячейку А7 введите метку A1=, а в диапазон В6:D8 введите матрицу, которая отличается от основной матрицы A тем, что первый столбец (коэффициенты при x₁) заменен на вектор-столбец свободных членов B.

6. В ячейку F7 введите метку A2=, а в диапазон G6:I8 введите матрицу, которая отличается от основной матрицы A тем, что второй столбец (коэффициенты при x₂) заменен на вектор-столбец свободных членов B.

7. В ячейку K7 введите метку A3=, а в диапазон L6:N8 введите матрицу, которая отличается от основной матрицы A тем, что третий столбец (коэффициенты при x₃) заменен на вектор-столбец свободных членов B.

Корни системы вычислите по формулам Крамера:

8. В ячейку А11 введите метку |A|=.

9. Выделите ячейку B11 и вызовите мастер функций.

10. В окне мастера функций из категории Полный алфавитный перечень выберите функцию МОПРЕД. Щелкните на кнопке ОК.

11. В диалоговом окне Аргументы функции щелкните в поле ввода Массив, а затем выделите диапазон B1:D3 со значениями матрицы A. Нажмите комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>. В ячейке B11 вычислен определитель матрицы A.

12. Аналогично в ячейках D11, G11 и J11 введите метки |A1|=, |A2|= и |A3|= соответственно, а в ячейках E11, H11 и K11 рассчитайте определители матриц A1, A2, A3.

3. В ячейку А13 введите текст Решение. В ячейку А15 введите метку Х=.

13. Выделите ячейку В15 и введите формулу вычисления первого корня =E11/B11. Нажмите клавишу <Enter>.

14. Аналогично в ячейках C15 и D15 рассчитайте второй и третий корни.

Вы получили решение в виде вектора X(1, -1, 2). Проверьте полученное решение методом подстановки.

15. В ячейку F13 введите текст Проверка. В ячейку F15 введите метку B=.

16. Выделите ячейку G14 и введите формулу =СУММ(B1:D1*B15:D15). Нажмите комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>. После подстановки корней (вектор X) в первое уравнение, коэффициентами которого являются элементы первой строки матрицы A, получается первое значение вектора-столбца свободных членов B, равное 3.

17. Аналогично проверьте второе и третье уравнение системы. Результат разместите в ячейках G15 и G16 соответственно. Полученные значения должны совпадать со значениями вектора B.

Вариант 2. Решить систему уравнений с использованием обратной матрицы.

Запишем систему линейных уравнений в сокращенном виде: AX=B. Если обе части уравнения умножить слева на обратную матрицу A^-1, то получим решение.

A^-1AX=A^-1B  X=A^-1B, так как A^-1A соответствует единичной матрице.

Следовательно, чтобы найти решение системы (вектор X), необходимо обратную матрицу коэффициентов системы A^-1 умножить на вектор-столбец свободных членов B.

1. В ячейку А18 введите текст Использование обратной матрицы.

2. В ячейку А21 введите метку Х=.

3. Выделите диапазон ячеек B20:B22, в который должен поместиться результат.

Обратите внимание! При решении системы с использованием обратной матрицы вектор X должен располагаться в столбец.

4. Вызовите мастер функций и из категории Полный алфавитный перечень выберите функцию МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК.

5. В диалоговом окне Аргументы функции щелкните в поле ввода Массив1 и введите МОБР(B1:D3). Для указания диапазона матрицы A можно просто выделить его мышью.

6. Щелкните в поле ввода Массив2 и введите диапазон вектора-столбца свободных членов G1:G3.

7. Нажмите комбинацию клавиш <Ctrl+Shift+Enter>. Прочтите результат.

При проверке решения производится умножение матрицы коэффициентов системы A на вектор-столбец X. В результате должен получиться вектор-столбец свободных членов B.