СЛАУ
.pdf
МЕТОД КРАМЕРА В MATHCAD
4. Находим решение СЛАУ:
|
|
|
|
|
1 |
|
xi |
|
A1i |
2 |
|||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
|
A |
|
|
||
|
|
|||||
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
4 |
|
30
5. Проверка решения:
A x
10
3
10
31
МЕТОД ГАУССА
Состоит из двух этапов:
•На первом (прямом) этапе исходная система сводится к системе с треугольной матрицей
0
•На втором (обратном) этапе решается СЛАУ с треугольной матрицей.
32
МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП
Состоит из m шагов.
Для приведения матрицы к треугольному виду используются ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ преобразования расширенной матрицы:
•перестановка строк,
•умножение строки на ненулевую константу,
•сложение строк
33
МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ 1
|
a 0 |
x |
a 0 |
x |
2 |
... |
a 0 |
x |
m |
f |
|
0 |
|
11 |
1 |
12 |
|
|
1m |
|
|
1 |
|||
Исходная система: |
a 0 |
x |
a 0 |
x |
|
... |
a 0 |
x |
|
f |
|
0 |
21 |
1 |
22 |
|
2 |
|
2m |
|
m |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
a 0 |
x |
a 0 |
x |
2 |
... |
a 0 |
x |
m |
f |
0 |
|
|
m1 |
1 |
m 2 |
|
|
mm |
|
|
|
m |
||
Пусть a110
0
Разделим на этот элемент первую строку и исключим x1 из всех последующих строк :
x1 a121 x2 |
... |
a11m xm |
f1 |
1 |
|
1 |
|
|
a221 x2 |
... |
a21m xm |
f 2 |
1 |
|
0 |
|
|
|
… |
|
||||||
|
... |
|
|
|
|
|
0 |
|
am12 x2 |
... |
amm1 xm |
f m1 |
|
|
|
||
Матрица СЛАУ |
||||||||
34
МЕТОД ГАУССА
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ 2
Исходная матрица
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0 |
|
a22 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|||
… |
|
. . . |
… |
… |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ПРЯМОЙ ЭТАП, ШАГ m
0
35
МЕТОД ГАУССА
ОБРАТНЫЙ ЭТАП: РЕШЕНИЕ СЛАУ С ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЕЙ
|
|
|
|
|
|
x |
a 1 |
x |
|
a |
1 |
x |
... |
a |
1 x |
|
|
|
f |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
12 |
2 |
|
13 3 |
|
|
1m |
|
|
m |
1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
a |
2 |
x |
... |
|
a |
2 |
x |
m |
f |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
3 |
|
|
2m |
|
|
|
|
2 |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
... |
|
a 3 |
|
x |
m |
f |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3m |
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
xm |
|
fmm |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
m |
f |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
m 1 |
|
|
f |
m 1 |
a m 1 |
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
m 1 |
|
|
|
m 1,m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
f |
|
1 |
|
a 1 |
x |
2 |
|
a 1 |
x |
3 |
... |
a 1 |
|
x |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
12 |
|
|
|
13 |
|
|
|
1m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
36
Функция MathCAD для решения СЛАУ
lsolve
(реализует метод Гаусса)
|
1 |
5 |
2 |
|
1 |
A |
0.7 |
12 |
5 |
b |
2.9 |
|
3 |
0 |
4 |
|
3.1 |
0.186
lsol ve(A b) |
0.129 |
0.915
37
УПРАЖНЕНИЕ
Дана система линейных алгебраических уравнений
8x1 4x2 2x3 10 3x1 5x2 x3 5 3x1 2x2 10x3 4
Решить СЛАУ:
1)Методом обратной матрицы
2)Методом Крамера
3)С помощью стандарной функции Lsolve
38
Cамостоятельно:
Дана система линейных алгебраических уравнений
Записать матрицу A и вектор правых частей f: |
Ax=f |
Решить СЛАУ методом обратной матрицы: |
x A 1 f |
39
МЕТОД ПРОГОНКИ
ВАРИАНТ МЕТОДА ГАУССА ДЛЯ СЛАУ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
ТОЧНЫЙ, ЭКОНОМИЧНЫЙ МЕТОД
ПРИМЕНЯЕТСЯ ДЛЯ СИСТЕМ С ЛЕНТОЧНЫМИ (ТРЕХДИАГОНАЛЬНЫМИ) МАТРИЦАМИ
ВСЕ НЕНУЛЕВЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ СОСРЕДОТОЧЕНЫ НА ГЛАВНОЙ ДИАГОНАЛИ И ДВУХ БЛИЖАЙШИХ К НЕЙ
0 |
0 |
40