СЛАУ
.pdf
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)
Скалярная:
Матричная:
Векторная:
ФОРМЫ ЗАПИСИ
a11 
x1 a21 
x1
...
am1 
x1
Ax f
a11
a21 x1
...
am1
a12 x2 ... |
a1m xm |
f1 |
a22 x2 ... |
a2m xm |
f2 |
am2 
x2 ... amm 
xm fm
a12 |
|
a1m |
|
f1 |
|
a22 |
x2 ... |
a2m |
xm |
f2 |
|
... |
... |
... |
|||
|
|
||||
am2 |
|
amm |
|
fm |
21
РЕШЕНИЕ СЛАУ
УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЯ СЛАУ
Система Ax=f
имеет единственное решение, если det A 0
Эффективность способов решения СЛАУ зависит от структуры и свойств матрицы А: размерности, обусловленности, симметричности, заполненности и т.д.
Методы решения СЛАУ
-Точные (прямые) – позволяют получить решение за конечное число арифметических операций
-Приближенные (итерационные) – решением является предел некоторой бесконечной последовательности
единообразных действий |
22 |
|
РЕШЕНИЕ СЛАУ
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ :
•Точные (прямые)
•Приближенные (итерационные)
ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ :
•Обратной матрицы
•Крамера
•Гаусса
•Прогонки
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ :
•Простой итерации
•Якоби
• Релаксации |
23 |
Матрицы специального вида
•Треугольные
•Симметричные
•Ленточные
•…
Треугольные матрицы
•Верхние (правые) и нижние (левые)
•СЛАУ с треугольными матрицами решаются легко
(РАЗОБРАТЬ ПРИМЕР)
24
РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Пусть det A 0
Тогда существует A–1 - обратная матрица:
A A–1= A–1 A = E, |
где E – единичная матрица. |
||||
Пусть A–1 известна. Умножая на нее СЛАУ |
|||||
слева, получим: |
|
1 |
A |
1 |
|
|
A Ax |
f |
|
||
|
|
|
|
|
|
По свойству обратной матрицы: Ex |
A 1 f , |
||||
|
|
По свойству единичной матрицы: x |
A 1 f . |
Метод используется для решения небольших |
|
систем, т.к. нахождение обратной матрицы – |
|
трудоемкий процесс |
25 |
МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ В MATHCAD
Пример 1. Дана система линейных алгебраических уравнений
Решить СЛАУ методом обратной матрицы
1. Задаем массив коэффициентов СЛАУ и вектор правых частей:
1 |
2 |
3 |
4 |
30 |
1 |
2 |
3 |
4 |
10 |
A |
|
|
|
f |
0 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
10 |
26
МЕТОД ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ В MATHCAD
2. Находим определитель det A: |
|
|
A |
|
4 |
||||
|
|
|
|||||||
3. Находим обратную матрицу A–1: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
1 |
3 |
3 |
|
|
|
A |
1 |
0.75 |
|
1.25 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0.5 |
|
0.5 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0.25 |
0.75 |
2 |
1 |
|
|
|
|
4. Находим решение: |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x A |
1 f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5. Проверка решения: |
30 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
A x |
|
|
3 |
|
|
10 |
27 |
|
|
РЕШЕНИЕ СЛАУ МЕТОДОМ КРАМЕРА
Пусть det A 0
Построим m вспомогательных матриц
|
a1 1 ... |
f1 ... |
|
Ai |
a2 1 ... |
f2 ... |
|
... ... ... ... |
|
||
|
i-й столбец |
||
|
|
|
|
|
am1 ... |
fm ... |
|
Решения находим по формулам:
xi |
det Ai |
i=1,2,…m. |
|
|
|||
det A |
|||
|
|
Метод используется для решения небольших систем, т.к. нахождение определителей – трудоемкая операция
28
МЕТОД КРАМЕРА В MATHCAD
Пример 2. Дана система линейных алгебраических уравнений
Решить СЛАУ методом Крамера
1.По умолчанию элементы массива нумеруются с нуля. Для того, чтобы элементы нумеровались с единицы:
ORIGIN 1
29
МЕТОД КРАМЕРА В MATHCAD
2. Задаем массивы:
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
A |
|
|
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
30 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
30 |
3 |
4 |
|
1 |
2 |
30 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
30 |
|
A11 |
10 |
2 |
3 |
4 |
A12 |
1 |
10 |
3 |
4 |
A13 |
1 |
2 |
10 |
4 |
A14 |
1 |
2 |
3 |
10 |
|
3 |
1 |
1 |
1 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
1 |
3 |
1 |
0 |
1 |
1 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
10 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
10 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
10 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
10 |
3.Задаем дискретную переменную i (меняется от 1 до 4 с шагом 1):
i1 4
30