- •1. Общие сведения
- •1.1. Предмет и метод геодезии как науки
- •2. Общая фигура земли и определение положения точек земной поверхности
- •3. Ориентирование
- •4. Связь дирекционных углов и горизонтальных углов полигона
- •5. Прямая и обратная геодезические задачи
- •6.1. Понятие о плане, карте, профиле
- •7.1. Принцип измерения горизонтального угла и схема угломерного прибора
- •7.2. Классификация теодолитов
- •7.3. Отсчетные приспособления теодолитов
- •7.6.1. Порядок измерения угла наклона
- •7.7. Точность измерения углов
- •8. Линейные измерения
- •8.1. Способы измерения расстояний
- •8.3. Косвенные линейные измерения
- •8.3.1. Дальномеры геометрического типа
- •8.3.2. Физические дальномеры
- •8.4. Измерение неприступных расстояний
- •9. Нивелирование и его виды
- •9.1. Сущность и способы геометрического нивелирования
- •10. Продольное нивелирование трассы
- •10.2. Камеральные работы
- •11. Опорные геодезические сети
- •12. Топографические съемки
- •12.1. Теодолитная съемка
- •12.1.1. Полевые работы
- •12.1.2. Камеральные работы при теодолитной съемке
- •12.2. Тахеометрическая съемка
- •12.2.1. Полевые работы
- •12.2.2. Камеральные работы
- •12.3. Мензульная съемка
- •12.3.1. Подготовительные работы
- •12.3.3. Камеральные работы
- •13. Элементы теории ошибок измерений
- •13.1. Классификация и свойства ошибок геодезических измерений
- •13.3. Средняя квадратическая ошибка функции измеренных величин
- •13.4. Арифметическая середина и ее свойства
- •13.5. Оценка точности ряда измерений по вероятнейшим ошибкам
- •Специальная часть
- •14. Задачи инженерной геодезии в строительстве
- •14.1.1. Построение на местности угла заданной величины
- •14.1.2. Перенесение в натуру линии заданной длины
- •14.1.3. Перенесение в натуру проектных точек в плане
- •14.2. Вынесение на местность проектных точек, линий и плоскостей по высоте
- •14.2.1. Перенесение на местность точек с заданной отметкой
- •14.2.2. Разбивка в натуре линии заданного уклона
- •14.2.3. Построение на местности горизонтальной и наклонной плоскости
- •14.3.1. Строительная сетка
- •14.4. Разбивочные работы на строительной площадке в подготовительный период
- •14.4.1. Нулевой цикл строительства и геодезические работы
- •14.4.2. Разбивка криволинейных сооружений
- •14.4.2.1. Способ прямоугольных координат
- •14.4.2.2. Способ продолженных хорд
- •14.4.3. Передача проектной отметки на дно котлована
- •14.4.5. Разбивочные работы при установке стальных и железобетонных колонн в проектное положение
- •14.4.6. Вынос нулевого горизонта
- •14.5. Надземный цикл строительства
- •14.5.1. Установка стальных и железобетонных колонн
- •14.5.2. Контроль за вертикальностью ряда колонн
- •14.5.3. Передача осей на верхний монтажный горизонт
- •14.5.4. Исполнительные съемки
- •15.1. Причины деформаций оснований сооружений
- •15.3. Методы и точность измерений осадок и деформаций
- •15.4. Организация наблюдений за осадками методом геометрического нивелирования
- •Литература
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
z + ∆z1 = f (x + ∆x1 , y + ∆y1 ,...w + ∆w1 ).
Так как ошибки ∆x, ∆y, ∆w малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись членами первой степени:
z + ∆z1 = f (x, y,...w)+ ∂∂fx ∆x1 + ∂∂fy ∆y1 +... + ∂∂wf ∆w1 +...
Отсюда составим систему уравнений случайных ошибок:
∆z1 = ∂∂fx ∆x1 + ∂∂fy ∆y1 +... + ∂∂wf ∆w1.
Но ∆x, ∆y…имеют бесконечное число измерений каждая и характеризуются средними квадратическими ошибками. Поэтому можно составить бесконечное число уравнений, аналогичных выше приведенному:
∆z1 |
= |
.......... |
....... |
|
|
∆z2 |
= |
.......... |
....... |
|
|
............................ |
|
||||
∆zn |
= |
.......... |
........ |
|
|
[∆z |
2 ] |
|
∂f 2 |
[∆x2 ] |
+ |
n |
|
= |
|
n |
|
|
|
∂x |
|
Отсюда
Возведем равенства в квадрат, сложим и разделим на n.
|
∂f 2 |
[∆y2 ] |
∂f |
2 |
[∆w2 ] |
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
|
+... |
|
|
|
|||||
|
|
n |
∂w |
n |
|
||
|
∂y |
|
0 n→∞
2 |
|
∂f 2 |
2 |
|
∂f 2 |
2 |
|
∂f 2 |
2 |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
mz |
= |
|
mx |
+ |
|
my |
+... + |
|
|
mw → mz |
= (fx′mx ) |
|
+ (f y′my ) |
+... +(fw′mw ) |
. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
∂w |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.
13.4. Арифметическая середина и ее свойства
Пусть ℓ1, ℓ2,… ℓn – ряд измерений некоторой величины Х. За наилучшее приближение к значению неизвестной величины принимают арифметическую середину ℓ0, то есть среднее арифметическое значение:
0 = 1 + 2 n+... + n = [n].
Арифметическая середина обладает рядом свойств, из которых можно выделить следующие:
1-е свойство: при неограниченном увеличении числа измерений n арифметическая середина ℓ0 стремится к истинному значению Х, то есть является наиболее вероятнейшим значением измеряемой величины.
∆1 = 1 − Х
+∆2 = 2 − Х просуммируем уравнения и разделим на n
..................
[∆n]= [n]− Xn n │ 0=ℓ0-Х.
92
↓
0 по свойству компенсации
[ ] |
= X ;lim 0 = X |
, 0 = |
[ ] |
. |
Поэтому n |
|
n |
||
n → ∞ |
|
|
||
|
|
|
2-е свойство: сумма отклонений δi измеренных значений ℓi от арифметической середины ℓ0 тождественно равна нулю.
δ1 = 1 − 0
+ |
δ2 |
= 2 − 0 |
Это вероятнейшие случайные ошибки. |
|
................... |
|
|
|
δn |
= n − 0 |
|
[δ]= [ ]− n 0 , но [ ]= n 0 , поэтому [δ]= 0.
3-е свойство: средняя квадратическая ошибка М арифметической середины в n раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения m.
|
0 |
= |
1 + 2 |
+... + n |
= |
1 |
|
1 |
+ |
1 |
|
2 |
+... + |
1 |
|
n |
. |
|
n |
n |
n |
n |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривая эту формулу как функцию общего вида, найдем:
M |
2 |
|
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
2 |
. Так как измерения равноточные и |
|||
|
= |
|
m1 |
+ |
|
m2 |
+... + |
|
mn |
||||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|||
m1 = m2 =... = m, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
M = |
m |
|
. |
|
то |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.5. Оценка точности ряда измерений по вероятнейшим ошибкам
Истинные случайные ошибки ∆ обычно остаются неизвестны. Поэтому для оценки точности используют вероятнейшие ошибки, то есть отклонения отдельных результатов измерений от арифметической середины.
Составим уравнения истинных и вероятнейших случайных ошибок:
Ур-я ист. сл. ош. |
|
Ур-я вероятн. сл. ош. |
|
∆1 = 1 − |
|
δ1 = 1 − 0 |
|
∆2 = 2 − |
▬ |
δ2 = 2 − 0 |
, где |
................... |
|
................... |
|
∆n = n − |
|
δn = n − 0 |
|
и
ℓi – измеренные значения; ℓ - истинное значение; ℓ0 – арифметическая середина.
Из первой системы вычтем вторую:
93
∆1 −δ1 |
= 0 |
− |
|
|
|
|
∆2 −δ2 |
= 0 |
− |
( 0 |
− )= М |
- представляет собой слу- |
|
........................... |
||||||
|
|
|
∆n −δn = 0 −
чайную ошибку арифметической середины. Перепишем равенства:
2
∆1 = М +δ1
+ |
∆2 = М +δ2 |
Возведем равенства в квадрат и сложим их: |
|
...................... |
|
∆n = M +δn
[∆∆]= nМ 2 +[δδ]+ 2M [δ]
||
0 по второму свойству арифметической середины. Разделив на n полученное равенство, имеем
m2 = M 2 + [δδn ].
Учтем, что M = mn . Тогда
m2 = [δδ]+ m2 ,откуда n n
m = ± n[δδ−1] −формула Бесселя.
94