z + ∆z1 = f (x + ∆x1 , y + ∆y1 ,...w + ∆w1 ).

Так как ошибки ∆x, ∆y, ∆w малы, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись членами первой степени:

z + ∆z1 = f (x, y,...w)+ ∂∂fx ∆x1 + ∂∂fy ∆y1 +... + ∂∂wf ∆w1 +...

Отсюда составим систему уравнений случайных ошибок:

∆z1 = ∂∂fx ∆x1 + ∂∂fy ∆y1 +... + ∂∂wf ∆w1.

Но ∆x, ∆y…имеют бесконечное число измерений каждая и характеризуются средними квадратическими ошибками. Поэтому можно составить бесконечное число уравнений, аналогичных выше приведенному:

Квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на средние квадратические ошибки соответствующих аргументов.

13.4. Арифметическая середина и ее свойства

Пусть ℓ1, ℓ2,… ℓn – ряд измерений некоторой величины Х. За наилучшее приближение к значению неизвестной величины принимают арифметическую середину ℓ0, то есть среднее арифметическое значение:

0 = 1 + 2 n+... + n = [n].

Арифметическая середина обладает рядом свойств, из которых можно выделить следующие:

1-е свойство: при неограниченном увеличении числа измерений n арифметическая середина ℓ0 стремится к истинному значению Х, то есть является наиболее вероятнейшим значением измеряемой величины.

∆1 = 1 − Х

+∆2 = 2 − Х просуммируем уравнения и разделим на n

..................

[∆n]= [n]− Xn n │ 0=ℓ0-Х.

92

↓

0 по свойству компенсации

2-е свойство: сумма отклонений δi измеренных значений ℓi от арифметической середины ℓ0 тождественно равна нулю.

δ1 = 1 − 0

[δ]= [ ]− n 0 , но [ ]= n 0 , поэтому [δ]= 0.

3-е свойство: средняя квадратическая ошибка М арифметической середины в n раз меньше средней квадратической ошибки результата отдельного измерения m.

Рассматривая эту формулу как функцию общего вида, найдем:

13.5. Оценка точности ряда измерений по вероятнейшим ошибкам

Истинные случайные ошибки ∆ обычно остаются неизвестны. Поэтому для оценки точности используют вероятнейшие ошибки, то есть отклонения отдельных результатов измерений от арифметической середины.

Составим уравнения истинных и вероятнейших случайных ошибок:

и

ℓi – измеренные значения; ℓ - истинное значение; ℓ0 – арифметическая середина.

Из первой системы вычтем вторую:

93

∆n −δn = 0 −

чайную ошибку арифметической середины. Перепишем равенства:

2

∆1 = М +δ1

∆n = M +δn

[∆∆]= nМ 2 +[δδ]+ 2M [δ]

||

0 по второму свойству арифметической середины. Разделив на n полученное равенство, имеем

m2 = M 2 + [δδn ].

Учтем, что M = mn . Тогда

m2 = [δδ]+ m2 ,откуда n n

m = ± n[δδ−1] −формула Бесселя.

94