§ 8. Геометрический смысл дифференциала

Изучим АDС на рис. 4. АDС прямоугольный с прямым углом С; вершины имеют координаты А(,),D(х, ),С(х, ), где– приращение ординаты касательной при данном приращении независимой переменной; гипотенуза образована отрезком касательной. ИзАDС следует, что . Но по построению

.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной при данном приращении независимой переменной.

§ 9. Приложения производной

1. Возрастание и убывание функции

Определение 1. Функция называется возрастающей на некотором множестве значений аргумента, если на этом множестве большему значению аргумента х соответствует большее значение функций, то есть если , то.(см. рис. 5)

Определение 2. Функция называется убывающей на некотором множестве значений аргумента, если на этом множестве большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции то есть если , то.(см. рис. 6)

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, – интервалами монотонности.

Возрастание и убывание функции у = f(x) характеризуется знаком её производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же, то функция убывает в этом промежутке.

Рис. 5

Рис. 6

Из рис. 5 видно, что при возрастании функции положительному приращению аргумента ,соответствует положительное приращение функции;, а для убывающей функции из рис. 6 видно, что приращения ;противоположны по знаку.

2. Точки экстремума

Определение 3. Функция f(x) имеет максимум (минимум) в точке x = x₀, если существует такая окрестность точкиx₀, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x₀) (f(x) > f(x₀)).

Точки максимума или минимума называются точками экстремума данной функции.

Необходимое условие экстремума: функция может иметь экстремум только в точках, где производная обращается в ноль или не существует. Такие точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума:если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то функция f(x) имеет в точке x₀ экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус. Если же при переходе через критическую точку x₀ производная не меняет знак, то функция f(x) в точке x₀ не имеет экстремума.

Рис. 7

Этот результат геометрически представляет тот факт, что в точках максимума (точка x₁) и в точках минимума ( в точке x₂) касательная к кривой параллельна оси Ох, а это значит, что у' = 0.

Но непрерывная функция может иметь экстремум в тех точках, в которых она не дифференцируема, то есть производной этой точки не существует (в точке x₃).

3. Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти значения функции на концах промежутка;

3) сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.