§ 4. Теоремы сложения и умножения

Определение 1. Суммой событий A и B будем называть событие , состоящее в появлении или события , или события , или обоих этих событий.

Определение 2. Суммой нескольких событий будем называть событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.

Если имеются два подмножества и , то событию соответствует множество точек, принадлежащих обоим множествам и . Причем, если множества и не имеют общих точек, то события и несовместны (рис. 1), а если множества и имеют общие точки, то события и совместны (рис. 2).

Определение 3. Произведением двух событий и называют событие , которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события (то есть и событие и событие ).

На рис. 3 произведению двух событий и соответствует заштрихованное множество точек, принадлежащих как множеству , так и множеству.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4

Определение 4. Событиеназываетсяпротивоположным к событию , если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие , причем достоверное событие.

Если событие состоит в попадании точки в множество , то событие означает попадание в множество, которое содержит все точки квадрата, не принадлежащие множеству A (такое множество называют дополнением к множеству A) (рис. 4) . Вероятность противоположного события находится по формуле

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

.

Определение 5. Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная при условии, что событие B произошло.

Определение 6. События и называются независимыми, если вероятность одного из них не меняется (не зависит) от того, наступило другое событие или нет, то есть если выполняется равенство . В противном случае эти события называются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило: или .

В частности, для независимых событий

Следствие. Условная вероятность вычисляется по формуле:

.

Пример

В лесопитомнике проверяют на прорастание семена сосны, ели и клена, вероятности, прорастания которых соответственно равны для сосны – 0,7, для ели – 0,8 и для клена – 0,9. Наудачу взято по одному семени каждого вида. Найти вероятность того, что прорастет: 1) только одно семя; 2) только 2 семени; 3) только три семени; 4) ни одно семя не прорастет; 5) хотя бы одно семя.

Решение:

Событие A₁ – прорастет семя сосны .

–не прорастет семя сосны .

Событие A₂ – прорастет семя ели.

–не прорастет семя ели .

Событие A₃ – прорастет семя клена .

–не прорастет семя клена .

1) Пусть событие B – прорастет только одно семя. Тогда

. Отсюда в силу несовместности событий–слагаемых и независимости событий–сомножителей, получаем

2) Пусть событие С – прорастет только два семени.

. Отсюда в силу несовместности событий–слагаемых и независимости событий–сомножителей, получаем

3) Пусть событие D – прорастет три семени.

.

Тогда .

4. Пусть событие E – ни одного семени не прорастет.

Так как события независимые, то

.

5) Пусть событие F – хотя бы одно семя прорастет.

1 способ

Событие F есть сумма событий F= B+C+D. Отсюда в силу несовместности событий слагаемых, получаем

2 способ

Перейдем к противоположному событию – ни одного семени не прорастет . Тогда