построении математической модели сама управленческая ситуация также упрощается и схематизируется. Из множества факторов в нее включают наиболее важные и весомые так, чтобы существующие закономерности можно было описать с помощью математического аппарата. При этом [4], «две опасности всегда подстерегают составителя модели: первая — утонуть в подробностях («из-за деревьев не увидеть леса»); вторая — слишком огрубить явление («выплеснуть из ванны вместе с водой и ребенка»)». Вместе с тем, чем удачнее будет создана модель, и чем лучше она отразит характерные черты объекта управления, тем успешнее будет исследование и полезнее рекомендации, полученные на ее основе.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель строится исходя из целевой направленности операции, с учетом требуемой точности решения, а также точности, с которой могут быть известны исходные данные. Очевидно также, что наиболее разумно применять модели там, где с их помощью удается принимать решения более обоснованные и более взвешенные, чем без них.

1.4. Задачи оптимизации

Располагая математической моделью объекта управления, можно решать различные задачи – оценивать те или иные решения, проводить исследования «что будет, если…» и многое другое. Большой интерес представляют задачи, связанные с отысканием наилучшего из возможных решений, которые называют задачами оптимизации.

При постановке задачи оптимизации лицу, принимающему решения необходимо прежде всего определиться со следующими вопросами.

•Что значит наилучшее решение (какой критерий или критерии оптимальности выбрать)?

•За счет чего можно добиться наилучшего решения (изменяя какие характеристики объекта управления)?

•Какие из решений являются допустимыми? В каких пределах можно изменять характеристики объекта управления для достижения наилучших результатов?

Выбор критериев (показателей эффективности) и принципов оптимизации (максимизировать или минимизировать критерий) являются прерогативой лица, принимающего решение. Определяющим при этом всегда является цель. Выбор критерия позволяет подготовить от-

11

вет и на второй вопрос, а именно: определить и отобрать те характеристики объекта управления, с помощью которых (изменяя которые) лицо, принимающее решение, может управлять процессом. Такие характеристики, как было отмечено ранее, называют управляемыми пе-

ременными или переменными решения. Например, повысить доход от реализации продукции можно различными путями – за счет снижения производственных издержек, за счет рационального выбора номенклатуры выпускаемых изделий, за счет улучшения сбытовой политики, за счет более рационального размещения торгово-сервисных центров и т.д. Выбор ответа - за лицом, принимающим решение. Именно лицо, принимающее решение, в зависимости от стоящих перед ним задач и его полномочий и информационного состояния, формирует перечень факторов и признаков (переменных решения), с помощью которых будет достигаться наилучшее из доступных ему решений.

Для оценки количественного влияния управляемых переменных на критерий необходимо либо иметь, либо создать математическую модель объекта управления, т.е. получить аналитические соотношения (формулы). Если критерий оптимальности обозначить через Z, а переменные решения через {x1, x2,Kxn}, то взаимосвязь между крите-

рием и управляемыми переменными можно символически представить как некоторую функцию

Z = f (x1, x2,... xn ) ,

которую в задачах оптимизации принято называть целевой функцией.

Пример 1.1.

Мебельная фабрика выпускает три вида изделий: диваны, стулья и кресла. Доход от реализации одного изделия каждого типа известен и составляет 2000, 500, 1000 рублей соответственно.

Требуется построить целевую функцию, позволяющую количественно оценивать месячный доход фабрики в зависимости от объемов выпускаемой продукции.

Решение

Доход от реализации продукции, выпущенной фабрикой, обозначим через Z. Очевидно, что его величина зависит от количества изделий каждого наименования, которые изготовит фабрика. В качестве управляемых переменных здесь выступает количество выпущенных изделий: диванов, стульев и кресел (штук), которые обозначим через x1, x2, x3 , соответственно. Зная доход от реализации единицы каждо-

го изделия (2000, 500, 1000 рублей), легко записать формулу, позволяющую рассчитывать суммарный доход в зависимости от того, сколько изделий каждого типа будет выпущено фабрикой

12

Z = 2000 x1 +500 x2 +1000 x3.

Такая целевая функция связывает критерий оптимальности-доход, который необходимо максимизировать, с переменными решения – объемами выпуска изделий x1, x2 , x3 . Она позволяет рассматривать и

количественно оценивать различные решения-варианты производственных программ {x1, x2, x3}, сравнивать их между собой с целью

выбора наилучшего (обеспечивающего наибольший доход от реализации).

Вопрос о том, в каких пределах можно варьировать (изменять) управляемые переменные для достижения наилучшего результата, во многом определяется тем, насколько лицо, принимающее решение, свободно или ограничено в выборе переменных x1, x2,...xn . При этом

возможны две ситуации:

1.Никаких ограничений по выбору значений для управляемых переменных нет.

2.Возможности для выбора значений переменных решения ограничены. Ограничения могут быть связаны с недостатком имеющихся

вналичии ресурсов (материальных, трудовых), с особенностями «внешней среды» (ограниченность спроса на продукцию, наличием уже подписанных контрактов на поставку части продукции) и т.д.

Если первая ситуация в реальной управленческой деятельности встречается достаточно редко, то со второй приходится сталкиваться постоянно. Поэтому в большинстве задач оптимизации, как правило, присутствуют ограничения, накладываемые на управляемые переменные. Если эти ограничения удается записать в аналитическом виде, то помимо целевой функции задача оптимизации будет содержать совокупность ограничений, которую также можно представить как систему некоторых математических соотношений.

Пример 1.2.

В результате изучения спроса на изделия мебельной фабрики из примера 1.1. службой маркетинга было установлено, что спрос на диваны никогда не превышает 130 штук в месяц, а на кресла 200 штук. В то же время, согласно уже подписанным контрактам фабрика обязана поставить заказчику стулья в количестве не менее 700 штук. Требуется сформировать и включить в задачу оптимизации ограничения, накладываемые на переменные решения.

13

Решение

Управляемые переменные (переменные решения) x1, x2, x3 - это

количества диванов, стульев и кресел, выпускаемых фабрикой (месячная производственная программа). С учетом информации, приведенной выше, возможность выбора значений для x1, x2 , x3 теперь ог-

раничена условиями, вытекающими из реального спроса на продукцию и необходимости выполнения контрактных обязательств, а именно:

•ограничение спроса на диваны означает, что их в производственной программе должно быть не более 130, т.е. x1 ≤130 ;

•ограничение спроса на кресла, означает что их в производственной программе должно быть не более 200, т.е. x3 ≤ 200 ;

•необходимость выполнения контрактных обязательств по стульям

означает, что их в производственной программе должно быть не менее 700, т.е. x 2 ≥ 700 .

Объединяя полученные результаты, сводим все ограничения в систему неравенств

x1 ≤130,x2 ≥ 700,

x3 ≤ 200.

Таким образом, набор значений x1, x2 , x3 уже не может состоять

из любого сочетания трех переменных, как это было в примере 1.1, а может выбираться только из того подмножества производственных

Множество всех решений

Область допустимых решений (ОДР)

Рис. 1.2.

14

программ (комбинаций x1, x2 , x3 ), для которого выполняются выше-

приведенные ограничения.

Вид ограничивающих соотношений, а именно: тип функциональной связи, их запись в виде уравнений либо неравенств – зависит от решаемой задачи и в каждом конкретном случае различен. Принципиальным является то, что любые ограничения снижают возможности выбора и, следовательно, число возможных решений. В связи с этим, в задачах оптимизации широко используют понятие области допустимых решений (ОДР), т.е. той области, выделяемой из множества всех значений управляемых переменных, только внутри которой и допустим поиск оптимального решения {x1, x2,Kxn} - рис. 1.2. Оче-

видно, что ОДР полностью определяется системой ограничений.

Таким образом, математически задача оптимизации в самом общем виде формулируется следующим образом - требуется найти такой набор значений для переменных решения {x1, x2,...xn}*, который обра-

щает критерий оптимальности Z в max (min) при условии, что {x1, x2,...xn}* удовлетворяют заданной системе ограничений.

Запись целевой функции в совокупности с условием оптимизации (максимизация или минимизация) и системой ограничений называют

моделью оптимизации.

Разделы прикладной математики, занимающиеся разработкой методов решения таких задач, называют математическим программиро-

ванием, а сами задачи - задачами математического программирова-

ния. Термин «программирование» заимствован из зарубежной литературы от английского programming. Он не имеет отношения к традиционному пониманию программирования, как процессу составления программ для ЭВМ, а означает планирование, выбор оптимальной программы действий.

Построение математических моделей оптимизации всегда требует, с одной стороны, как можно более адекватного описания реальной ситуации, а с другой, - введения элементов идеализации и упрощения для того, чтобы задачу можно было решить доступными математическими методами и получить необходимые результаты. Поэтому на этапе ее постановки и формализации абсолютно необходимо тесное сотрудничество и взаимодействие аналитиков с лицами, принимающими решения.

15