chimikiteorver.upr

30.Из полного набора домино вытащили одну кость. Оказалось, что это не дубль. Какова вероятность того, что вторую вытащенную кость можно будет приложить к первой?

31.7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4 лункам, причем в каждую лунку может поместиться любое число шариков. Сколько существует различных способов размещения 7 шариков по 4 лункам? Какова вероятность того, что при размещении шариков первая лунка окажется пустой (при этом ограничений на остальные лунки нет)?

32.Бросается 10 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятности следующих событий: A ={ни на одной кости не выпало 6 оч-

êîâ}, B ={хотя бы на одной кости выпало 6 очков}, C ={ровно на трех костях выпало 6 очков}.

33.В подъезде дома установлен кодовый замок. Шифр представляет собой упорядоченную последовательность трех цифр из имеющихся 10. Некто вошел в подъезд и, не зная кода, стал наудачу пробовать различные комбинации. На каждую попытку он тратит 20 секунд. Какова вероятность события A, состоящего в том, что вошедшему

удалось открыть дверь за один час?

34.Шесть человек вошли в лифт семиэтажного дома. Считая, что любой пассажир может с равной вероятностью выйти на любом из 2,3,...,7 этажей, найти вероятности следующих событий: A ={íà

втором, третьем и на четвертом этажах не вышел ни один пассажир }, B ={трое пассажиров вышли на седьмом этаже}, C ={íà

каждом этаже выйдет по одному пассажиру}, D ={все пассажиры выйдут на одном этаже}.

35.15 одинаковых монет случайным образом раскладываются по 7 конвертам. Сколькими способами можно это сделать, если допускаются пустые конверты? То же, если пустых конвертов не должно быть. Какова вероятность того, что в первый конверт попадет в точности 3 монеты? (Рассмотреть оба случая.)

11

36.Из урны, содержащей шары с номерами от 1 до n k раз вынима-

ется шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера вынутых шаров образуют возрастающую последовательность (k · n).

37.На тренировке детской спортивной школы по футболу роли игроков распределяются случайным образом среди одиннадцати участников. Нужно отобрать одного вратаря, четырех защитников, трех полузащитников и трех нападающих. Какова вероятность того, что два друга Коля и Миша а) будут играть в нападении; б) получат разные роли, причем один из них будет играть в защите, а второйв нападении?

38.В розыгрыше лотерее участвуют n билетов, из которых m выигрышные. Куплено k билетов. Какова вероятность следующих событий: A ={среди купленных билетов хотя бы один выигрышный},

B ={среди купленных билетов в точности один выигрышный билет}, C ={куплено ровно k выигрышных билетов}.

39.7 яблок, 5 лимонов и 9 апельсинов случайным образом раскладывают в три пакета, но так, чтобы в каждом было одинаковое коли- чество фруктов. Найти вероятности событий A ={в каждом пакете

по три апельсина}, B ={случайно выбранный пакет не содержит лимонов}.

40.n различных предметов случайным образом распределяются меж-

äó m человек (m < n), причем каждый может получить любое чис-

ло предметов из имеющихся. Какова вероятность следующих событий: A ={все предметы достанутся одному человеку}, B ={определенное лицо не получит ни одного предмета}, C ={определенные m ëèö ïî-

лучат в точности по одному предмету}, D ={определенные l предметов достанутся одному из присутствующих}.

41.Бросается 5 одинаковых игральных костей. Вычислить вероятность следующих событий: A ={ни на одной кости не выпадет 2 очков}, B ={хотя бы на одной кости выпадет 2 очка}, C ={ровно на трех

костях выпадет 2 очка}.

12

42.Из полного комплекта домино (28 штук) случайным образом достают две кости. Какова вероятность того, что их можно приложить одна к другой?

3.3. Геометрические вероятности

Пусть имеется некоторая область G и в ней содержится область g.

Задача состоит в том, чтобы найти вероятность попадания наугад взятой точки области G в область g. Вероятность попадания точки

â g не зависит от ее расположения внутри области G, а также от ее

формы, но зависит лишь от ее меры mes (длины отрезка, площади,

объема и т.д.):

p =

43.Внутри квадрата с вершинами (0;0), (1;0), (1;1) и (0;1) наудачу выбирается точка M(x; y). Найти вероятность события

A = f(x; y)jx2 + y2 · a2; a > 0g:

44.На перекрестке установлен светофор, в котором одну минуту горит зеленый свет и полминуты красный, затем снова одну минуту зеленый и полминуты красный и так далее. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

45.Какова вероятность того, что сумма длин трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит l, будет больше

l?

46.(Задача о встрече). Два студента A è B условились встретиться

в парке во время с 15ч до 15ч 40 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 40 минут может произойти наудачу, и моменты прихода независимы?

13

47.Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность

того, что эта точка окажется внутри правильного вписанного в круг треугольника. Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от расположения внутри круга.

48.Точка взята наудачу внутри круга радиуса R. Найти вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоянии, меньшем r (r < R).

49.Значения a è b равновозможны в квадрате jaj · 1, jbj · 1. Найти

вероятность следующих событий: A ={корни квадратного трехчлена x2 + 2ax + b действительны}, B={корни квадратного трехчлена x2 + 2ax + b положительны}.

50.Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов, попеременно окрашенных в черный и белый цвет. По диску производится выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры.

3.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P (A) + P (B):

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или не произошло. В противном случае, событие A называется зависимым от события B.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B

имело место, называется условной вероятностью и обозначается символом P (A=B).

14

Вероятность произведения событий A è B равна произведению ве-

роятности одного из этих событий на условную вероятность второго при условии, что первое имело место:

P (A ¢ B) = P (A) ¢ P (B=A):

В частности, если события A è B независимы, то

P (A ¢ B) = P (A) ¢ P (B):

И терема сложения вероятностей, и теорема умножения вероятностей распространяются естественным образом на случай произвольного конечного числа событий.

51.В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; белый, черный или синий; синий или красный.

52.В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров. Во втором ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вытащили по одному шару. Какова вероятность, что оба шара белые? Найти вероятность того, что один из шаров белый, а второй - черный.

53.В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая шары обратно в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые; что один шар белый, а второй черный.

54.Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка 0,75, для второго 0,8, для третьего - 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

55.Та же задача. Найти вероятность того, что в цель с одного выстрела попадет хотя бы один стрелок.

15

56.Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна ® (® бесконечно малая величина, второй степенью кото-

рой можно пренебречь). Какова вероятность того, что за пять дней станок ни разу не выйдет из строя? (Для решения использовать формулу бинома Ньютона). Решить задачу для ® = 0; 01.

57. óðíå ® белых и ¯ черных шаров. Без возвращения вынимаются

два шара. Найти вероятность того, что один из них белый, а второй черный.

58. óðíå a белых, b черных шаров и c синих шаров. Вынули один шар. Вычислить вероятность того следующих событий: A ={Вынутый шар белый}, B ={вынутый шар синий}, C ={вынутый шар черный}, D ={вынутый шар белый или черный}, E ={вынутый шар белый или синий }, F ={вынутый шар синий или черный}.

59.В первой урне a белых и b черных шаров, во второй урне c белых и d черных шаров. Из каждой урны вынули по одному шару. Какова

вероятность того, что оба шара белые?

60.Какова вероятность того, что один шар черный, а второй белый?

61.Вероятность попадания в цель первым стрелком равна p1, а вторымp2. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того,

что один из них попадет в цель, а второй промахнется?

62.Вероятность того, что в городе N дневная температура в июле в

любой день меньше 5 градусов Цельсия равна ® (® бесконеч-

но малая величина, второй степенью которой можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля дневная температура будет не меньше 5 градусов?

63.В первом ящике 1 белый, 2 красных и три синих шара; во втором ящике 3 белых, 7 красных и 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет красных? Какова вероятность того, что вынули один синий и один белый шар?

16

64.В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Предполагается, что выбор случаен. Какова вероятность того, что будут выбраны: 1) две девочки; 2) два мальчика; 3) один мальчик и одна девочка?

65.В урне 9 белых и 1 синий шар. вынули три шара (без возвращения). Найти вероятность того, что все вынутые шары белые.

66.Производят три выстрела по цели. Вероятность p1 попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате произойдет только одно попадание. Та же задача при вероятности попадания p1 = 0:7

67. В урне находятся m1 + m2 шаров, из которых m1 белых и m2

черных. Из урны последовательно без возвращения вынимают два шара. События A ={первый шар белый}, B ={второй шар

белый}.найти вероятность P (B=A). Показать, что P (B=A) = P (B0), где событие B0 ={вынутый шар белый} событие, наблюдаемое в

новом эксперименте, состоящем в выборе наудачу одного шара из урны, состав которой изменен в соответствии с условием события

A.

3.5. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления событий

Если производится n независимых испытаний, и событие A в каждом из них может появиться с одной и той же вероятностью p, то вероятность того, что событие A появится в точности m ðàç (m · n), вычисляется по формуле

Pn(m) = Cnm ¢ pm ¢ qn¡m; ãäå q = 1 ¡ p:

Число m0 называется наивероятнейшим числом наступления события A в серии n испытаний, если значение Pn(m) ïðè m = m0 íå меньше остальных значений Pn(m), òî åñòü Pn(m0) ¸ Pn(mi) ïðè

i 6= 0.

17

Åñëè p =6 0 è p =6 1, то число m0 можно определить из двойного

неравенства

np ¡ q · m0 · np + p:

Åñëè np + P целое число, то имеется два значения наивероятней-

шего числа появления событий, в противном случае, наивероятнейшее значение одно.

68.В урне 20 белых и 15 черных шаров. Вынимают подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего, и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажутся 3 белых? Та же задача, но вынимают 5 шаров, и требуется вычислить вероятность того, что среди вынутых шаров будет в точности 3 белых шара.

69.Вероятность появления события A в данном испытании равна 0,4.

Какова вероятность того, что в серии из 10 испытаний событие A появится не более 3 раз? Более трех раз?

70.Определить вероятность того, что в семье, планирующей 5 детей, будет 3 мальчика и две девочки, если считать вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми? Та же задача, но найти вероятность того, среди детей будет не больше трех девочек.

71.Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность того, что в точ- ности 5 раз монета упадет гербом вверх.

72.Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность того, что она упадет гербом вверх не больше трех раз.

73.В группе студентов 12 юношей и 15 девушек. На каждый из трех вопросов преподавателя ответили по одному студенту. Какова вероятность того, что среди ответивших было два юноши и одна девушка?

74.В каждом из 4 ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность того, что вынули два белых шара? Какова вероятность вынуть два черных шара?

18

75.В урне 10 белых и 20 черных шаров. Вынимают подряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появления белого шара.

76.Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сделано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий в цель.

77.В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя в данном городе 1 октября равна 1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 октября за 40 лет.

78.Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

79.В урне 100 белых и 80 черных шаров.Из урны извлекают n шаров,

фиксируя цвет каждого вынутого шара и возвращая его перед выниманием следующего. Наивероятнейшее число появлений белого шара равно 11. Найти n.

80.Первый рабочий за смену может изготовить 120 деталей, а второй140, причем вероятности того, что эти детали высшего сорта, равны 0,94 и 0,8, соответственно. Определить наивероятнейшее число деталей высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.

81.Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероятность появления белого шара из каждой урны равна 0,6. Найти наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.

3.6. Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть события (гипотезы) H1; H2; : : : ; Hn образуют полную груп- пу попарно несовместных событий. Пусть еще некоторое событие

19

A может произойти вместе с одним из перечисленных событий. То-

гда событие A можно представить как сумму событий AHi; i = 1; 2; : : : ; n. Тогда по теореме о сумме вероятностей можно записать

P (A) = P (AH1) + P (AH2) + ¢ ¢ ¢ + P (AHn) =

P (H1) ¢ P (A=H1) + P (H2) ¢ P (A=H2) + ¢ ¢ ¢ + P (Hn) ¢ P (A=Hn)

формула полной вероятности.

Hi при условии, что событие уже имеет место, определяется по формуле Бейеса:

Вероятности P (Hi=A) также называют вероятностями гипотез.

82.Имеются 4 урны. В первой урне 1 белый и 1 черный шар; во второй урне 2 белых и 5 черных шаров; в третьей урне 3 белых и 7 черных шаров; в четвертой урне 7 белых и 5 черных шаров. Событие Hi выбор i-é óðíû (i = 1; 2; 3; 4). Известно, что вероят-

ность выбора i-й урны равна i=10. Наудачу выбирают одну из урн

и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.

83.Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором 10 белых и 10 черных шаров, а в третьем20 черных шаров.Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар из первого ящика.

84.В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть и бракован-

ные. Вынутое наугад изделие оказалось качественным. Определить вероятность того следующих событий: A ={все изделия в ящике ка- чественные}; B ={ N ¡1 изделие качественное и 1 бракованное}; C ={N ¡ 2 изделий качественных и 2 бракованных},. . . ,D ={âñå

изделия бракованные}.

20