chimikiteorver.upr

1Элементы теории множеств

1.Установить, какая из записей верна:

a)f1; 2g 2 f1; 2; f1; 2; 3gg èëè f1; 2g ½ f1; 2; f1; 2; 3gg;

b)f1; 2g 2 f1; 2; f1; 2gg èëè f1; 2g ½ f1; 2; f1; 2gg.

2.Указанные множества задать перечислением элементов:

a)A = fx 2 Rjx3 ¡ 3x2 + 2x = 0g;

b) A = fx 2 Rjx + x1 · 2 ^ x > 0g; c) A = fx 2 Njx2 ¡ 3x ¡ 4 · 0g.

3. Описать перечислением всех элементов множества A [ B, A \ B, A n B è B n A, åñëè

a) A = fx 2 Rjx2 + x ¡ 20 = 0g, B = fx 2 Rjx2 ¡ x + 12 = 0g; b) A = fx 2 Zj14 · 2x < 5g, B = fx 2 Nj log1=2 x1 < 2g.

4.Перечислите все подмножества множества 1) fag; 2) fa; bg; 3) fa; b; cg; 4);.

5.Для каждого из приведенных множеств, используя диаграммы Венна, изобразите штриховкой заданное множество:

¿C ¿

ÁÀ

AÁÀB

1) A0, 2)A\B, 3)(A\B)0, 4)(A[B)0, 5)(A[B)n(A\B),

6)(A [ B [ C)0; 7)(A \ B \ C)0; 8)A [ (B \ C); 9)A \ (B [ C):

1

2 Элементы комбинаторики

2.1. Основные законы комбинаторики. Перестановки и сочетания

Число различных упорядоченных выборок длины k èç n различных эле-

ментов без повторений (схема урн с извлечением шаров без возвращения их в урну), так называемых размещений, или (n; k)¡перестановок без

повторений, равно

В частности, число упорядоченных (n; n)-перестановок равно P (n; n) =

n!.

Число различных неупорядоченных выборок без повторений длины k èç n различных элементов ((n; k)-сочетаний) равно

Пусть теперь допускаются повторения элементов (схема урн с возвращением извлекаемых шаров перед извлечением следующего). Тогда число различных упорядоченных (n; k)-выборок равно

Akn = nk:

Если же порядок выборок не важен, то речь идет о сочетаниях с повто- рениями: Ckn = Cnk+k¡1 = (n + k ¡ 1)!:

1.На диск сейфа нанесены 15 букв, а шифр состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может сделать человек, не знающий шифра?

2.Сколькими способами можно на шахматной доске выбрать один черный и один белый квадраты? То же без ограничений на цвет квадратов.

2

3.Сколькими способами можно выбрать 3 краски из числа имеющихся пяти различных цветов? Сколькими способами можно составить трехцветный флаг, если имеется материал пяти различных цветов (флаги в горизонтальную полоску)?

4.У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ребенку дают не более 3 имен?

5.Сколькими способами можно вытащить из колоды в 52 карты 10 штук так, чтобы 1) среди них был ровно 1 туз; 2) хотя бы один туз; 3) не менее 2 тузов; 4) ровно два туза?

6.Сколькими способами можно выбрать две кости домино из возможных 28 штук так, чтобы их можно было приложить одна к другой?

7.Сколькими способами можно выбрать с книжной полки одну книгу из имеющихся 15 по химии и одну книгу по физике из 12 возможных?

8.Сколько существует целых чисел от 0 до 1000, содержащих в точ- ности одну цифру 6?

9.Сколько существует целых чисел от 0 до 1000, содержащих хотя бы одну цифру 6?

10.Сколькими способами можно переставить буквы слова "математика"? "Ингредиент"? "Валентность"?

11.В кондитерской продавали пирожные 4 сортов: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими различными способами можно купить 9 пирожных?

12.Имеется n абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары?

3

13."Фулл хаус"содержит три карты одного достоинства (ранга) и две карты другого ранга. Сколько существует таких различных раскладов?

14.Сколько существует возможностей разделить 10 человек на две команды по 5 человек для игры в баскетбол?

15.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 12 открыток? 8 открыток? 8 различных открыток?

16.Сколькими способами можно разложить 10 одинаковых монет по 5 конвертам так, чтобы ни один из конвертов не был пуст?

17.Пять пар пошли в кино и купили билеты на один ряд. Сколькими различными способами они могут сесть, если 1) они садятся в произвольном порядке; 2) если они садятся парами?

18.В книжном магазине есть 6 экземпляров романа Тургенева "Рудин", 3 экземпляра его же романа "Дворянское гнездо"и 4 экземпляра романа "Отцы и дети". Кроме того, есть 5 томов, содержащих "Рудин"и "Дворянское гнездо", и 7 томов, содержащих "Рудин"и "Отцы и дети". Сколькими способами можно сделать покупку, содержащую в точности по одному экземпляру каждого из этих романов?

19.На собрании должны выступить пять человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если оратор Б не должен выступить раньше, чем А? Та же задача, но А должен выступить непосредственно перед Б. Та же задача, но ораторы А и Б должны выступить подряд один за другим.

20.Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы одному юноше?

4

32.Доказать, что Cnk = Cnk¡¡11 + Cnk¡1.

33.Доказать, что Cn0 + Cn1 + Cn2 + ¢ ¢ ¢ + Cnn = 2n.

34.Доказать, что Cn0 ¡ Cn1 + Cn2 ¡ ¢ ¢ ¢ + (¡1)nCnn = 0.

3 Классическое определение вероятности

3.1. Непосредственное вычисление по определению

Вероятностью события A отношение числа m исходов, благоприятных

данному событию, к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов:

1.На двух шахматных досках случайным образом выбираются по одному квадрату. Какова вероятность того, что они окажутся разного цвета? Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

2.На шахматной доске случайным образом ставят две ладьи. Какова вероятность того, что они не бьют друг друга?

3.В магазин поступило 50 новых телевизоров. Известно, что среди них 3 имеют дефекты. Наудачу выбирается один телевизор для проверки. какова вероятность того, что он окажется исправным?

6

4. Автомат изготавливает однотипные детали. Технология такова, что

5% деталей оказываются бракованными. Из большой партии взята наудачу одна деталь для контроля. Какова вероятность того, что она окажется бракованной.

5. Игральная кость подбрасывается один раз. Найти вероятности следующих событий: A ={число очков равно 6}, B ={число очков

кратно трем}, C={число очков четно}, D={число очков меньше пяти}, E={число очков больше двух}.

6. Подбрасываются две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A ={числа очков на обеих костях совпадают}, B ={число

очков не первой кости меньше числа очков на второй}, C={сумма очков на обеих костях четна}, D={число очков больше двух}, E={число очков не меньше пяти}, F ={хотя бы на одной кости есть цифра 3}, G={произведение выпавших очков равно шести}.

7. Наудачу выбирается пятизначное число. Какова вероятность следующих событий: A={число одинаково читается как слева направо,

так и справа налево}, B={число кратно пяти}, C={число кратно

10}, D={число кратно четырем}, E={число состоит из нечетных цифр}.

8.Накануне первого сентября студент забыл посмотреть расписание. Известно, что всего будет изучаться 10 лекционных предметов, а в первый день запланировано 3 лекции. Любые наборы из трех предметов считаются равновозможными. Какова вероятность угадать набор предметов? Какова вероятность угадать расписание?

9.Каждое из 8 вычислительных устройств обслуживается одним оператором. В штатном составе имеется 6 операторов. Какова вероятность того, что первые шесть устройств будут обслужены, если назначение оператора на устройство производится случайным образом?

10.В ящике 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынут один шар. Какова вероятность того, что номер этого шара строго меньше 10? Не превышает 10? Равен 11?

7

3.2. Комбинаторный метод вычисления вероятностей в классической схеме

11.Из партии, содержащей 10 однотипных изделий, среди которых три бракованных, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятность следующих событий: A={в полученной выборке ровно одно изделие бракованное}, B={в полученной выборке нет ни одного бракованного изделия}, C={в выборке ровно два бракованных изделия}, D={в выборке ровно три бракованных изделия}.

12.Из полного набора костей домино (28 штук) наудачу выбирают 7 костей. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна кость с шестью очками? Ровно две кости с шестью очками?

13.Среди кандидатов в студенческий совет факультета 3 первокурсника, 5 второкурсников и 7 третьекурсников. Из этого состава наудачу выбирают пять человек. Найти вероятности следующих событий: A={будут выбраны одни третьекурсники}, B={все первокурсники

попадут на конференцию }, C={не будет выбрано ни одного второкурсника}.

14.Из урны, содержащей m1+m2 шаров, из которых m1 белого цвета

èm2 черного, наудачу отбирают m шаров (m < min(m1; m2))

èоткладывают в сторону. Найти вероятность следующих событий: A={все отложенные шары белые}, B={среди отложенных шаров

ровноk белых и m ¡ k черных (k · m) }. Все шары считаются попарно различными.

15.Та же задача, но найти вероятности событий: A={вынут хотя бы один белый шар}, B={вынуто не менее k белых шаров (k · m1) }.

16.Монета подброшена два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет герб?

17.В лотерее 1000 билетов, из них 500 выигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность того, что оба билета выигрышные?

8

18.В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников полу- чили отметку "отлично", 10 учеников "хорошо", 9 учеников "удовлетворительно". Какова вероятность того, что все три уче- ника,вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки за контрольную работу?

19.Из полной колоды карт (52 штуки) наудачу извлекают 4 карты. Какова вероятность того, что вытащили только бубновые карты? Какова вероятность того, что вытащили хотя бы один туз?

20.Из урны, в которой находится m1 шаров с номером 1, m2 шаров с номером 2, . . . , mk шаров с номером k, наудачу без возвращения извлекается n шаров. Найти вероятности событий: A={вынуто в

точности n1 шаров с номером 1, n2 шаров с номером 2, . . . , nk шаров с номером k}, B={среди вынутых шаров нет шаров с номером 1 или 2}.

21.Два равных по силе противника играют матч из n партий в тен-

нис. Каждая партия заканчивается выигрышем или проигрышем одного из участников. Все исходы данного матча равновероятны. Найти вероятность того, что первый игрок выиграет в точности m партий (m · n).

22.Числа 1, 2, . . . , 9 записываются в случайном порядке. Найти вероятности следующих событий: A ={числа будут записаны в порядке возрастания}, B ={числа 1 и 2 будут стоять непосредственно рядом и в порядке возрастания }, C={числа 3, 6, 9 будут в указанном порядке следовать друг за другом}, D={числа 1 и 3 будут стоять рядом}, E={между числами 1 и 2 будет стоять в точности 2 чис-

ëà}, F ={на четных местах будут стоять четные числа}, G={сумма

чисел, отстоящих от концов последовательности на одинаковое расстояние постоянна и равна 10}.

23.Группа из 8 человек садится за круглый стол. Какова вероятность, что два наперед заданных человека окажутся рядом? Три наперед заданных человека окажутся рядом? Фиксированный человек будет иметь двух наперед заданных соседей? Ответить на все вопросы при условии,что за столом мест ровно 8.

9

24.Та же задача, если мест за столом 15.

25.На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трех карточек и раскладывании их в порядке поступления справа налево. Найти вероятности следующих событий: A ={появится число 123}, B ={появится число, не содержащее цифры 3}, C={появится число, состоящее из трех последовательных цифр}, D={появится четное число}, E={появится число, со-

держащее хотя бы одну цифру 1 или 2}, F ={появившееся число состоит только из нечетных цифр}.

26.n мужчин и n женщин случайным образом рассаживаются в ряд на 2n местах. Найти вероятности следующих событий: A ={никакие два мужчины не сидят рядом}, B ={все мужчины сидят рядом }.

27.10 вариантов контрольной работы, написанные на отдельных карточках, перемешиваются и распределяются случайным образом среди 7 студентов, сидящих в одном ряду каждому по одной карточке. Найти вероятности следующих событий: A ={варианты с номерами 1 и 2 окажутся неиспользованными}, B ={варианты 1 и 2 достанутся рядом сидящим студентам}, C={будут распределены

последовательные номера вариантов}, D={вариант 5 обязательно будет выдан}.

28.В технической библиотеке имеются книги по 16 разделам науки (по математике, физике, химии и т.д.). Поступили очередные 4 заказа на литературу. Найти вероятности следующих событий: A ={заказаны

книги из различных разделов науки}, B ={заказаны книги из одного раздела науки}.

29.В кондитерской 7 сортов пирожных. Очередной покупатель выбил чек на 4 пирожных. Считая любой заказываемый набор пирожным равновозможным, найти вероятности следующих событий: A ={покупатель заказал пирожные одного вида}, B ={куплены пи-

рожные разных видов}, C={по два пирожных различных видов}.

10