chimikiteorver.upr

85.В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй 3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны вынули один шар и переложили его в первую урну, после чего из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что шар, вынутый из первой урны белый.

86.В первой урне 1 белый и 2 черных шара, а во второй 100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар находился ранее во второй урне, если известно, что он белый?

87.Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и при посадке. Крейсерский режим полета осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузкив 20%. Вероятность выхода из строя прибора в нормальном режиме равна 0,1, а в условиях перегрузки 0,4. Вычислить надежность прибора во время полета.

88.В продажу поступают телевизоры трех заводов. Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытыми дефектами; второго10%; третьего 5%. Какова вероятность приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30% телевизоров с первого завода, 20% со второго и 50% с третьего?

89.Три стрелка, вероятности попадания которых при одном выстреле в мишень при одинаковых условиях постоянны и равны соответственно p1 = 0; 8, p2 = 0; 7 è p3 = 0; 6, делают по одному выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события A ={â ìè-

шени окажется ровно две пробоины }, приняв в качестве гипотез элементарные исходы данного эксперимента.

90.В ящике лежат 15 новых теннисных мячей и 5 игранных. Для игры наудачу берут два мяча и после игры возвращают их обратно. Затем для второй игры также наудачу берут еще два мяча. Какова вероятность того, что вторая игра будет проводиться новыми мячами?

21

91.Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 билетов и з 30, Сидоров успел повторить только 15 билетов, остальные же знают все 30 билетов. Экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 85%, а при незнании билета можно сдать экзамен с вероятностью 0,1?

92.В урне лежит шар неизвестного цвета черный или белый (с равной вероятностью). В урну опускается 1 белый шар и после перемешивания наудачу извлекается один шар, оказавшийся белым. Какова вероятность того, что в урне остался белый шар?

93.Прибор состоит из двух последовательно включенных узлов. Надежность (т.е. вероятность безотказной работы в течение времени T )первого узла равна 0,9, а второго 0,8. За время испытания

прибора в течение времени T зарегестрирован отказ прибора. Найти вероятность следующих событий: A ={отказал только первый узел}, B ={отказали оба узла}.

94.В коробке находятся две неотличимые по внешнему виду игральные кости: одна правильная, с одинаковыми вероятностями выпадения всех 6 цифр при случайном подбрасывании, а вторая с неравномерно распределенной массой, и потому при ее случайном подбрасывании шестерка выпадает с вероятностью 1/3, единица с вероятностью 1/9, а остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью. Наудачу извлеченная кость была подброшена, и выпало 6 очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная игральная кость.

22

4Случайная величина. Основные свойства и характеристики

4.1. Случайная величина и закон ее распределения

Åñëè X случайная величина, f(x) функция плотности ее распре-

деления, то вероятность попадания величины X на промежуток (a; b) определяется по формуле Z b

P (a < X < b) = f(x)dx

a

Функция F (x) = P (X < x) называется функцией распределения вероятности случайной величины X.

Åñëè f(x) функция плотности распределения непрерывной случай-

ной величины X, то имеет место равенство:

Z x

F (x) = f(x)dx:

¡1

Порой функцию f(x) называют дифференциальной функцией распределения вероятности, а функцию F (x) интегральной функцией распре-

деления вероятности.

Основные свойства функции распределения вероятности: 1. F (x) неубывающая функция;

2. F (¡1) = 0;

3. F (+1) = 1.

Наконец, случайная величина X называется непрерывной, если непрерывна ее интегральная функция распределения.

1.Даны вероятности значений случайной величины X: значение 10

имеет вероятность 0,3; значение 2 вероятность 0,4; значение 8вероятность 0,1; значение 4 вероятность 0,2. Построить ряд распределения случайной величины X.

2.Случайная величина X подчинена закону распределения с плотно-

23

Требуется: 1)найти коэффициент a; 2) построить график распределения плотности y = f(x); 3) найти вероятность попадания слу- чайной величины X в промежуток (1; 2).

3. Дан ряд распределения случайной величины X:

Найти функцию распределения вероятности этой случайной вели- чины.

4. Случайная величина X задана функцией распределения (интеграль-

Вычислить вероятности попадания случайной величины X íà èí-

тервалы (1; 5; 2; 5) è (2; 5; 3; 5).

5. Случайная величина X задана функцией распределения

Вычислить вероятность попадания случайной величины на интер-

âàëû (1; 2; 5) è (2; 5; 3; 5).

6.Случайная величина задана функцией распределения из предыдущей задачи. найти плотность распределения (дифференциальную функцию распределения) случайной величины.

7.Стрелок делает три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. Построить ряд распределения числа попаданий (указание: воспользоваться формулой Бернулли).

24

8.В урне имеются 4 шара с номерами от 1 до 4. Вынули два шара. Случайная величина X сумма номеров шаров. Построить ряд распределения случайной величины X.

9.Случайная величина X подчинена закону распределения с плотно-

Требуется: 1)найти коэффициент a; 2)найти вероятность попада-

ния случайной величины X на промежуток (a=2; a); 3) построить

график распределения плотности вероятности случайной величи- ны.

10.Показать, что функция f(x) = 1=(x2 + ¼2) является плотностью вероятности некоторой случайной величины X, и вычислить вероятность попадания этой величины на интервал (¼; +1).

11.Дана функция плотности распределения случайной величины X:

Определить a è F (x).

12.В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар. Случайная величина X число вынутых белых шаров. Построить функцию распределения F (x).

4.2. Математическое ожидание и дисперсия слу- чайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений значений этой случайной величины

25

на вероятности этих значений:

Xn

M(X) = x1p1 + x2p2 + ¢ ¢ ¢ + xnpn = xipi:

i=1

Åñëè X непрерывная случайная величина с плотностью распре-

деления вероятности f(x), то ее математическое ожидание опреде-

ляется формулой:

Z +1

¡1

(при условии, что интеграл абсолютно сходится).

для дискретной величины X. Åñëè æå X непрерывна, то ее дис-

персия выражается по формуле

Z +1

D(X) = (x ¡ m)2f(x)dx:

¡1

ãäå a произвольное число.

p

¾(X) = D(X)

величины X, являющееся мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

26

Показать, что эта функция может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X (для этого убедиться, что R¡1+1 f(x)dx = 1). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

шаров, составить закон распределения этой величины, определить ее математическое ожидание и дисперсию.

16. Дана функция

При каком значении ¸ функция f(x) может служить плотностью

вероятности некоторой случайной величины X? Определить это

значение , найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение X.

27

Вычислить значение a, моду и медиану.

5 Равномерное распределение

Равномерным называется распределение таких случайных величин, все возможные значения которых лежат на некотором отрезке [a; b] и имеют

постоянную плотность распределения:

8

>0 ïðè x < a;

<

f(x) = >h ïðè a · x · b;

:0 ïðè x > b.

Причем из условия h ¢ (b ¡ a) = 1 легко определить значение h.

1.Определить математическое ожидание случайной величины с равномерным распределением.

2.Вычислить дисперсию и квадратичное отклонение для случайной величины с равномерным распределением.

3.Все значения равномерно распределенной случайной величины лежат на отрезке. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3; 5):

4.Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интервалом 5 минут Пассажир подходит к трамвайной остановке в некоторый момент времени.Какова вероятность появления пассажира не ранее чем через минуту после ухода предыдущего трамвая, но не позднее чем за две минуты до отхода следующего?

29

6Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона

Пусть вероятность наступления события A в каждом опыте данной серии постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что в серии из n испытаний событие A произойдет в точности m раз, определяется по схеме Бернулли

Pn(m) = Cnmpmqn¡m;

ãäå q = 1 ¡ p вероятность ненаступления события A.

Пусть теперь случайная величина может принимать только целые неотрицательные значения n 2 f0; 1; : : : ; ng. Тогда закон ее распределе-

ния описывается формулой Пуассона:

P (X = m) = am e¡a m!

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, распределенных по закону Пуассона или по биномиальному закону, определяются следующими формулами:

1.Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она получит точно два вызова?

2.Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток?

3.Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

4.Определить математическое ожидание и дисперсию частоты m=n появлений случайного события при n испытаниях, если вероятность появления при одном испытании равна p.

30