3. Расчетно-графическая работа № 3.
Цель работы:
9.научиться по результату теста с помощью регрессионного анализа, прогнозировать результат соревновательного упражнения;
10.научиться по результату соревновательного упражнения с помощью регрессионного анализа, прогнозировать должные нормативы результата в тесте.
3.1 Теоретические сведения
Известно, что количественная характеристика взаимосвязи изучаемых признаков может быть дана на основании:
11.вычисления показателей силы связи между ними (корреляция);
12.определения зависимости значений одного признака от значений другого (регрессия). Как было отмечено ранее (см. РГР№2), корреляционная взаимосвязь двух величин
заключается в том, что при задании одной из них устанавливается не одно точное значение, а вероятности различных значений другой. Каждому значению величины (Х) будет соответствовать целый статистический ряд возможных случайных значений величины (У).
3.2 Порядок выполнения расчетно-графической работы № 3.
Напомним, что в РГР № 2, с помощью корреляционного анализа, мы определили силу взаимосвязи между результатами прыжка в длину (Х, м) и бега на 30 м с хода (У, с).
СМОТРИТЕ С.20.
Теперь, с помощью регрессионного анализа нам предстоит ответить на вторую часть
РГР № 2, СМОТРИТЕ С.29:
13.какой результат в тесте (У) должен показывать спортсмен, чтобы прыгнуть (с определенной вероятностью) на 8,00 м (Х);
14.какой результат на соревнованиях (Х) сможет показать спортсмен (с
определенной вероятностью), если он пробежит 30м с хода за 2,65с (У).
Если одинаковым изменениям одного признака соответствуют одинаковые (в среднем) изменения другого, то линия регрессии может быть представлена прямой. Соответственно математическим уравнением, которое описывает эту форму зависимости, может служить уравнение прямой:
у = а + bx.
37
С помощью такого уравнения можно теоретически рассчитать значения, которые должен принимать один признак при определённых значениях другого (уравнение прогноза).
1 шаг. Исходя из представлений о корреляционной зависимости, уравнения регрессии при линейной взаимосвязи будут иметь следующий вид:
У= а1 + bу/х ґ Х (1) Х = а2 + bх/у ґ у (2)
В первом уравнении величина У изменяется в зависимости от величины Х. Во втором уравнении наоборот: величина Х изменяется в зависимости от величины У.
2 шаг. Вычислим так называемый коэффициент регрессии. Так, если уже проводился корреляционный анализ, то коэффициенты bх/у и bу/х вычисляются по следующим формулам:
by/x r |
y |
0,84 |
0,063 |
0,311с/м |
||
|
x |
|
0,17 |
|
||
bx/y r |
x |
0,84 |
|
0,17 |
2,267 м/с |
|
y |
0,063 |
|||||
|
|
|
||||
где r — коэффициент корреляции;
sх и sу - среднеквадратические отклонения, соответственно, результатов прыжка и бега, полученные ранее при вычислении коэффициента корреляции (см. РГР№2).
В качестве общей рекомендации для подобных случаев нужно иметь ввиду, что вычисление показателей регрессии, составление уравнений и т.д. разумно делать при r і 0,7. 3 шаг. Коэффициенты а1 и а2 рассчитываются по формулам:
а1 = Y - bу/х Ч = 2,78 - (-0,311) Ч 7,47 = 2,78+(0,311 Ч 7,47)=5,103 а2 = X - bх/у Ч = 7,47 - (-2,267) Ч 2,78 = 7,47+(2,267 Ч 2,78)=13,772
где и — соответственно, средние арифметические величины результатов прыжков и бега, полученные при вычислении коэффициента корреляции (см. РГР№2).
4 шаг. Запишем уравнения в полном виде, т.е. с численными значениями коэффициентов
уравнений регрессии: |
|
У = 5,103 + (- 0,311) ЧХ |
(1) |
Х = 13,772 + (- 2,267 ЧУ) |
(2) |
Прежде чем принять как подходящий (для прогнозов или хотя бы для описания характера зависимости) тот или иной вид уравнения, следует проверить степень соответствия теоретических знаний имеющимся эмпирическим данным (обратное вычисление). Одна из самых трудных и ответственных операций — выбор вида уравнения. Графический анализ является при этом серьёзным подспорьем, а представление о сущности изучаемого явления — решающим условием.
5 шаг. Построим на корреляционном поле (см. стр 21, РГР№2) теоретические прямые уравнений регрессии (зависимостей у/x и x/y соответственно). Для этого, подставим
вуравнение (1) любой из результатов прыжка в длину данных на графике из РГР №2:
У= 5,103 + (- 0,311)Ч Х ¬любой результат на графике РГР №2 по оси Х
38
Например, Х1 = 7,70, тогда У1 = 5,103 + (- 0,311 Ч 7,70) = 2,71. Следовательно, точка №1 имеет координаты Х1 = 7,70 и У1 = 2,71.
Так как для построения прямой необходимо как минимум две точки, то аналогичным способом вычислим координаты второй точки:
Если Х2 = 7,30, то У2 = 5,103 + (- 0,311Ч 7,30) = 2,83.
Т.о. координатами точки №2 будут являться: Х2 = 7,30 и У2 = 2,83.
Точки № 1 и № 2 нанесём на график и построим прямую линию уравнения регрессии у/x (см. рис. 1, стр. 41).
39
|
|
|
|
|
|
Рис.1 |
Y(c) |
|
|
|
|
|
|
2,9 |
Х/Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,85 |
|
|
|
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
2,75 |
|
|
|
|
|
|
2,7 |
|
|
|
|
|
Y/X |
2,65 |
|
|
|
|
|
X(м) |
|
|
|
|
|
|
|
7,2 |
7,3 |
7,4 |
7,5 |
7,6 |
7,7 |
7,8 |
Аналогично, подставляя значения результата бега на 30 м с хода в уравнение |
||||||
регрессии (2), построим прямую линию уравнения регрессии x/y: |
|
|
||||
Х = 13,772 + (- 2,267) Ч У ¬ любой результат на графике РГР №2 по оси У |
||||||
Например, У3 = 2,85, тогда Х3 = 13,772 + (- 2,267 Ч 2,85) = 7,31. |
|
|||||
Т.о. координаты для точки №3: Х3 =7,31 и У3 = 2,85 |
|
|
||||
Если У4= 2,70, тогда Х4 = 13,772 + (- 2,267 Ч 2,70) = 7,65. |
|
|
||||
Т.о. координаты для точки №4: Х4 =7,65 и У4 = 2,70 |
|
|
||||
Первое уравнение будем использовать для прогноза результата спортсмена на |
||||||
соревнованиях, исходя из полученного результата в информативном тесте. |
|
|||||
Второе уравнение будем использовать для прогноза результата спортсмена в |
||||||
тесте, исходя из полученного результата в соревновательном упражнении. |
||||||
Теперь, помня о том, что Х - это результаты прыжка в длину с разбега, а У - |
||||||
результаты бега на 30 м с хода, ответим на первый вопрос: какой результат сможет |
||||||
показать прыгун на соревнованиях, если в тесте 30 м с хода он пробежал за 2,65 с?. Т.е. нам |
||||||
известно значение (У), которое равно 2,65. Значит, 2,65 подставим в уравнение (2): |
||||||
|
|
Х = 13,772 + (- 2,267 ´ 2,65) = 7,76 |
|
|
||
Далее ответим на другой вопрос, а именно: какой результат спортсмену необходимо |
||||||
показать в тесте, чтобы показать результат на соревновании 8,00 м. Т.е. нам известно |
||||||
40
значение (Х), которое равно 8,00. Значит, 8,00 подставим в уравнение (1): У = 5,103 - 0,311 8,00 = 2,62
Однако точно спрогнозировать результат спортсмена мы не сможем. (см. РГР №1). Полученные результаты измерений будут иметь индивидуальные случайные отклонения. Определим значения этих отклонений, вычислив границы доверительных интервалов, например, с вероятностью 95% (подробно о доверительных интервалах см. методические указания к РГР № 1).
Далее:
6 шаг. Для вычисления доверительных интервалов уравнений регрессии вначале необходимо вычислить остаточные среднеквадратические отклонения по формулам:
|
sу/х = σy |
|
2 |
= 0,063 ´ |
1 |
- (0,84)2 = 0,063 ´ |
|
|
= 0,063 ´ 0,548 = 0,034 |
|||||
|
|
1- 0,7 |
||||||||||||
1) |
1- r |
|||||||||||||
|
|
|
2 |
= 0,17 ´ |
|
|
|
= 0,17 ´ |
|
= 0,17 ´ 0,548 |
|
|||
|
|
|
|
1- |
(0,84)2 |
|
||||||||
|
sх/у = σx |
|
|
1- 0,7 |
|
|||||||||
2) |
1- r |
= 0,093 |
||||||||||||
где sу/х и sх/у - среднеквадратические отклонения соответственно 1 |
и 2 уравнений; |
|||||||||||||
sу и sх - среднеквадратические отклонения, взятые из РГР № 2; r - коэффициент корреляции из РГР № 2.
7 шаг. Для того, чтобы вычислить доверительные интервалы с вероятностью 95%, необходимо полученные результаты среднеквадратических отклонений умножить на коэффициент Т(р,n), взятый из таблицы Т- критерия Стьюдента (см. Приложение № 1 на стр. 64). В нашем случае, Т(р,n)= 2,31, т.к. это значение находится на пересечении уровня значимости Р = 0,05 (95%), указанного в задании, и числа степеней свободы V = 8 (V = n – 1 = 9 – 1 = 8. Объём выборки n = 9 был задан
вРГР № 2).
1)у = Т(р,n) ´ sу/х = 2,31 ´ 0,034 = 0,078 с
2)х = Т(р,n) ´ sх/у = 2,31 ´ 0,093 = 0,215 м
41