MLTA_dlya_vsekh (1) / Электронные лекции 2013 / лекция 1

31

Определение 1.5. Доказательством называется конечная последовательность формул Ф1,...,Фn,

такая, что каждая Фi есть либо аксиома, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода.

Определение 1.6. Теоремой называется такая формула Ф теории, что существует доказательство

Ф1,...,Фn, где Фn=Ф.

32

Определение 1.7. Аксиоматическая теория полна, если присоединение к ее аксиомам формулы, не являющейся теоремой, делает теорию противоречивой, т.е. могут быть доказаны Ф и Ф.

Определение 1.8. Интерпретацией формальной теории в содержательную теорию называется соответствие теорем формальной теории истинным утверждениям содержательной теории.

33

Определение 1.9.

Интерпретация называется правильной, если каждой теореме формальной теории ставится в соответствие истинное утверждение содержательной теории.

Интерпретация называется адекватной, если она правильная и каждому истинному утверждению содержательной теории ставится в соответствие теорема формальной теории.

34

Определение 1.10. Аксиоматическая теория разрешима, если для любой ППФ Ф существует процедура (алгоритм), которая за конечное число шагов определяет, является ли Ф теоремой теории.

Для изучения формальных теорий используется

мета-язык. Это естественный язык, дополненный

общеупотребительными математическими символами,

по отношению к которому множество правильно

построенных формул (ППФ) является языком-

объектом.

35

Пример формальной теории.

Исчисление высказываний имеет:

а) множество правильно построенных формул

(ППФ), определенное выше;

б) множество аксиом:

1.A (B A)

2.(A (B C)) ((A B) (A C))

3.( A B) (( A B) A);

36

в) правила вывода:

1.Ф(A) (правило подстановки).

Ф(B)

2.Ф, Ф B (правило Modus Ponens). B

Взаписи правила вывода над чертой

правила. Из нее следует формула, стоящая под

чертой, которая называется заключением правила.

37

Правило подстановки позволяет заменять в ППФ все вхождения некоторой буквы на другую букву.

Правило Modus Ponens (MP) позволяет выводить формулу B из формул Ф и Ф B.

Доказательство. Имеем A. Тогда в соответствии с аксиомой 1 по правилу MP получаем

A, A (B A) (MP).

B A

38

Интерпретацией исчисления высказываний

является логика высказываний.

Все аксиомы исчисления высказываний являются

тавтологиями логики высказываний.

Исчисление высказываний непротиворечиво,

полно и разрешимо.

39

Метод резолюций

Пусть имеется набор формул Ф1,...,Фn, имеющих вид

элементарных дизъюнкций. Для доказательства логического следования формулы Ф из набора формул Ф1,...,Фn необходимо построить отрицание Ф также в виде элементарной дизъюнкции. Если Ф следует из Ф1,...,Фn, то набор формул Ф1,...,Фn,Ф

несовместим (т.е. их конъюнкция имеет значение

ложь).

40

Для доказательства несовместности Ф1,...,Фn,Ф

используется правило резолюций

(A C) B C (A B),

применяемое последовательно к набору Ф1,...,Фn,Ф и

уже полученным результатам применения этого правила.

Правило резолюции основано на формуле Блейка-

Порецкого

(A C)(B C) = (A C)(B C)(A B) .